Задачи по "Математике"

Квадратный корень определен при t 0, следовательно

 и  (т. к. ).

Получаем:

 и   
 
 

Изобразим область  определения функции на графике. 

На графике  область определения изображена штриховкой, за исключением точек, лежащих  на графике y=1-x. 

2. (9.2) НАЙТИ  ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ПОЛНЫЙ  ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. 

3. (9.3) ВЫЧИСЛИТЬ  ЗНАЧЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ  ФУНКЦИИ 

В точке М₀(2,3,25): 
 

4. (9.4) ПРИМЕНЯЯ ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ПРИБЛИЖЕННО ВЫЧИСЛИТЬ (СЧИТАТЬ

Рассмотрим функцию  :

Тогда 1,02³= , где x=3, =0,02, y=3, =0 

Формула полного  дифференциала, применяемая в приближенных расчетах: 

Найдем  и :

Следовательно, 1,02³ , т. е.

1,02³ 1,06 

Рассмотрим функцию  :

Тогда 0,97²= , где x=1, =-0,03, y=2, =0 

Формула полного дифференциала, применяемая в приближенных расчетах: 

Найдем  и :

Следовательно, 0,97² , т. е.

0,97² 0,94 

Рассмотрим функцию  :

Тогда , где x=1, =0,06, y=1, =-0,06 

Формула полного  дифференциала, применяемая в приближенных расчетах: 

Найдем  и :

Следовательно, , т. е.

1 

5. (9.5) НАПИСАТЬ  УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ И НОРМАЛИ К ПОВЕРХНОСТИ В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ

Уравнение касательной  плоскости: 

Уравнение нормали: 

Поверхность задана уравнением . С учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции:

 и  , уравнения касательной и нормали примут вид: 

Получаем уравнение  касательной плоскости: 

Получаем уравнение  нормали: 

6. (9.6) ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Найдем  :

Найдем  :

Найдем  :

Найдем  :

Упростим правую часть полученного равенства: 

7. (9.7) ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИИ

По формулам и ( ) имеем:

В точке М(-1,0,1):

10. (9.10) НАЙТИ  ВТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ УКАЗАННЫХ  ФУНКЦИЙ. УБЕДИТЬСЯ В ТОМ, ЧТО 

=  
 

11. (9.11) ПРОВЕРИТЬ,  УДОВЛЕТВОРЯЕТ ЛИ УКАЗАННОМУ  УРАВНЕНИЮ ДАННАЯ ФУНКЦИЯ 

Найдем  :

Найдем  :

12. (9.12) ИССЛЕДОВАТЬ НА ЭКСТРЕМУМ СЛЕДУЮЩИЕ ФУКЦИИ.

Точки, в которых  производные не существуют – отсутствуют.

Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

Отсюда получаем точку M₁(0;0)

Находим частные  производные второго порядка  данной функции:

В точке M₁(0;0) имеем: А=-10, В=2, С=-6

АС-В²=56, , поэтому в точке M₁(0;0) функция имеет экстремум.

Т. к. , то в точке M₁ функция имеет локальный максимум:

13. (9.13) НАЙТИ  НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ  ФУНКЦИИ