Задачи по "Линейной алгебре"

Контрольная работа №1. Вариант 5.

 

Задание 15.

 

Решить  систему линейных уравнений методами: 1) Крамера; 2) обратной матрицы; 3) Гаусса; 4) Жордана – Гаусса. Выполнить проверку решения.

 

 

Решение.

 

1) Решим исходную систему линейных уравнений методом Крамера.

 

 

 

 

 

По  формулам Крамера  .

 

 

2) Решим исходную систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Решим исходную систему линейных уравнений методом Гаусса.

 

 

Первую строку делим на .

 

 

Первую строку умножаем на и складываем со второй строкой. Результат записываем во вторую строку.

 

 

Первую строку умножаем на и складываем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.

 

 

Вторую строку делим на .

 

 

Вторую строку умножаем на и складываем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.

 

 

Третью строку делим на .

 

 

 

4) Решим исходную систему линейных уравнений методом Жордана – Гаусса.

 

 

Первую строку делим на .

 

 

Первую строку умножаем на и складываем со второй строкой. Результат записываем во вторую строку.

 

 

Первую строку умножаем на и складываем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.

 

 

Вторую строку делим на .

 

 

Вторую строку умножаем на и складываем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.

 

 

Третью строку делим на .

 

 

Третью строку умножаем на и складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.

 

 

Третью строку умножаем на и складываем со второй строкой. Результат записываем во вторую строку.

 

 

 

Выполним проверку полученного решения .

 

 

Все три равенства являются верными. Следовательно, найденные значения являются решением исходной системы линейных уравнений

 

Ответ.

 

 

 

Задание 25.

 

Исследовать систему на совместность и определенность. В случае неопределенной системы выписать общее решение  и найти любое частное решение. Выполнить проверку решения.

 

 

Решение.

 

 

 основная матрица исходной  системы линейных уравнений

 

 расширенная матрица исходной  системы линейных уравнений

 

Найдем  ранг основной матрицы  и ранг расширенной матрицы .

 

 

Первую  строку делим на .

 

 

Первую  строку умножаем на и складываем со второй строкой. Результат записываем во вторую строку.

 

 

Первую  строку умножаем на и складываем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.

 

 

Первую  строку умножаем на и складываем с четвертой строкой. Результат записываем в четвертую строку.

 

 

Первую  строку умножаем на и складываем с пятой строкой. Результат записываем в пятую строку.

 

Вторую строку делим на .

 

 

Вторую  строку умножаем на и складываем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.

 

 

Вторую  строку умножаем на и складываем с четвертой строкой. Результат записываем в четвертую строку.

 

 

Вторую  строку умножаем на и складываем с пятой строкой. Результат записываем в пятую строку.

 

Исключаем четвертую строку.

 

 

Третью строку делим на .

 

 

Третью строку умножаем на и складываем с четвертой строкой. Результат записываем в четвертую строку.

 

 

Исключаем четвертую строку.

 

 

Ранг  основной матрицы  и ранг расширенной матрицы совпадают: . Следовательно, по теореме Кронекера – Капели исходная система линейных уравнений является совместной (то есть имеет решение).

 

 где  число неизвестных. Следовательно, исходная система линейных уравнений является неопределенной (имеет бесконечное множество решений).

Найдем  общее решение данной системы  линейных уравнений.

 

 

Вторую  строку умножаем на и складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.

 

 

 

Третью  строку умножаем на и складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.

 

 

 

Общее решение системы линейных уравнений  имеет вид

 

Найдем  некоторое частное решение. Положим  . Тогда частное решение системы линейных уравнений имеет вид .

 

Выполним проверку найденного общего решения  .

 

 

Все три равенства являются верными. Следовательно, найденные значения являются общим решением исходной системы линейных уравнений

 

Ответ. Исходная система линейных уравнений является совместной. Исходная система линейных уравнений является неопределенной. Общее решение системы линейных уравнений имеет вид . Частное решение системы линейных уравнений имеет вид .

 

 

Задание 35.

 

Дана  квадратичная форма  .

1) Выписать матрицу квадратичной формы.

2) Исследовать знакоопределенность квадратичной формы по собственным значениям матрицы квадратичной формы.

3) Найти знакоопределенность квадратичной формы по критерию Сильвестра.

 

Решение.

 

1)

 

Матрица квадратичной формы имеет вид .

 

2) Найдем собственные значения матрицы квадратичной формы . Для этого необходимо решить следующее характеристическое уравнение .

 

 

 

 

 

Собственные значения матрицы  квадратичной формы имеют разные знаки. Следовательно, квадратичная форма является знакопеременной.

 

3) Вычислим угловые миноры матрицы квадратичной формы .

 

По критерию Сильвестра квадратичная форма  является знакопеременной.

 

 

 

 

Ответ.

1)

2) Квадратичная форма является знакопеременной.

3) Квадратичная форма является знакопеременной.

 

 

 

Контрольная работа №2. Вариант 5.

 

Задание 45.

 

Даны координаты вершин треугольника . Построить треугольник в декартовой системе координат. Найти:

1) длины сторон треугольника;

2) углы треугольника;

3) уравнения прямых, содержащих стороны треугольника;

4) уравнение медианы, проведенной из вершины

5) уравнение высоты, проведенной из вершины

6) длину высоты, проведенной из вершины

7) площадь треугольника;

8) систему неравенств, задающую внутреннюю область треугольника.

 

 

Решение.

 

Построим треугольник в декартовой системе координат.

 

 

1)

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

3) Уравнение прямой , проходящей через точку в направлении вектора , имеет вид .

 

 

Уравнение прямой , проходящей через точку в направлении вектора , имеет вид .

 

 

Уравнение прямой , проходящей через точку в направлении вектора , имеет вид .

 

 

4) В треугольнике проведем медиану . По определению медианы точка является серединой отрезка .

 

 

Уравнение медианы  , проходящей через точки и , имеет вид , то есть .

 

 

5) Запишем уравнение прямой в эквивалентном виде.

 

 

Угловой коэффициент прямой равен .

 

В треугольнике проведем высоту . Уравнение прямой , проходящей через точку , имеет вид , то есть .

 

Сторона и высота являются перпендикулярными. Следовательно, по условию перпендикулярности прямых на плоскости .

 

Тогда уравнение высоты принимает вид .

 

 

6) Длина высоты , проведенной из вершины , равна расстоянию от точки до прямой .

 

7)

 

8) Уравнение прямой имеет следующий вид . В левую часть данного уравнения подставляем координаты точки : . Тогда первое неравенство системы, задающей внутреннюю область треугольника, имеет вид .

 

Уравнение прямой имеет следующий вид . В левую часть данного уравнения подставляем координаты точки : . Тогда второе неравенство системы, задающей внутреннюю область треугольника, имеет вид .

 

Уравнение прямой имеет следующий вид . В левую часть данного уравнения подставляем координаты точки : . Тогда третье неравенство системы, задающей внутреннюю область треугольника, имеет вид .

 

Таким образом, система неравенств, задающая внутреннюю область треугольника, имеет вид

 

Ответ.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

 

 

 

Задание 55.

 

Кривая второго порядка задана уравнением .

1) Привести уравнение кривой к каноническому виду.

2) Выписать параметры кривой.

3) Построить кривую.