Введение в математический анализ

Введение  в математический анализ

Вариант 6

1. Предел функции в точке и в бесконечности. Основные теоремы о функциях, имеющих предел.

 

Если A является пределом функции y в точке x0, то для любого наперед заданного сколько угодно малого, положительного числа E найдется такой момент в изменении y, для которого |y-A|<E, при условии, что соответствующие значения x будут попадать в дельта окрестность точки x0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Предел функции  на бесконечности описывает поведение  значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине). 

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

 

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов. 

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не       обращается в 0). 
 

Задание № 1. Вычислить указанные пределы.

 

; 

; 
 
 

Задание № 2. Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции, если они существуют, и определить их тип. Построить схематический график функции.

 а) ;

схематический рисунок (функция справа резко стремится  к бесконечности) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Здесь, очевидно, точка разрыва х=8. Для определения ее типа найдем пределы слева и справа от нее:

_,

_.

_{Поскольку один из пределов равен  бесконечности, то данная точка - точка разрыва  второго рода.} 
 
 

б)

в точке х=0 разрыва  нет, так как  и 1-х=1 при х=0. В точке х=2 есть разрыв – скачок, так как значение функции слева равно -1, а справа 4. Таким образом, это точка разрыва первого рода. 
 
 
 
 
 
 
 

Дифференциальное  исчисление функции  одной переменной

1. Производные  и дифференциалы высших порядков.

Если в точке x = x0 функция непрерывна, то она дифференцируема в этой точке, т.е. существует производная.

Производная высшего  порядка используется для исследования функции на экстремум, определение  точек перегиба, нахождение осинктот, графика функции в точке.

_{Задание № 1. Найти производные  данных функций, используя правила вычисления  производных.}

_;

_;  

_.

_{Представим  в виде  .}

_Тогда  
 

_{Задание № 2. Построить график функции  , используя общую схему исследования функции: 1) найти область существования функции; 2) исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва; 3) выяснить, не является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти точки экстремума функции и определить интервалы возрастания и убывания функции; 5) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции; 6) найти асимптоты графика функции, если они имеются; 7) построить график функции, используя результаты исследования; при необходимости можно дополнительно находить точки графика, давая аргументу х ряд значений и вычисляя соответствующие значения у.}

_.

_{Решение.}

_{) область существования  функции - ;}

_{2) исследовать функцию  на непрерывность:  найти точки разрыва  функции и ее  односторонние пределы  в точках разрыва.}

_{Функция имеет точку разрыва  х=-1. Односторонние  пределы:}

 

_{3) данная функция  ни четная, ни нечетная;}

_{4) ищем точки экстремума  функции и определяем  интервалы возрастания  и убывания функции.}

_{Ищем  производную}

_{Приравнивая нулю, получаем точки  экстремума .}

_{Разобьем  числовую ось этими  точками и точкой разрыва. Над осью укажем знак производной.} 
 
 
 
 
 
 
 
 

_{Получаем, что функция убывает  на интервале (-3, -1), где она отрицательна, а на остальных интервалах функция возрастает.}  

_{5) найти точки перегиба  графика функции  и определить интервалы  выпуклости и вогнутости  графика функции;}

_{Ищем  вторую производную}

_{Приравнивая нулю, очевидно, получим  один корень х=0 – точку перегиба.}  
 
 
 
 
 
 
 

_{Поскольку при x<0 вторая производная отрицательна, то на этом участке функция выпуклая, а при x>0 функция вогнутая, поскольку вторая производная положительна.}  

_{6) найти асимптоты  графика функции,  если они имеются;}

_{Есть  вертикальная асимптота  х=-1.}

_{Поскольку , горизонтальной асимптоты нет.}

_{Ищем, есть ли наклонная  асимптота вида y=kx+b.}

_{Здесь и}

_{Таким образом, есть наклонная  асимптота .} 

_{7) строим график  функции (пунктиром  показана наклонная  асимптота)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Дифференциальное  исчисление функций  нескольких переменных

1. Дифференцирование неявных функций.

 

Неявная функция  в общем виде записывается так: f(x,y) = g(x,y). При этом одна из функций f(x,y) или g(x,y) может быть равна числу или даже нулю.

Если функция  задана неявно, то есть несколько способов найти производную.

Первый - очевидный, но трудоемкий, и даже не всегда возможный - выразить y через x и найти производную как обычно.

Второй - дифференцировать сразу обе части равенства. Его  здесь и рассмотрим.

Алгоритм:

1. Прировнять  дифференциалы правой и левой  части.                                                                                                                                                                                                                                             2. Разделить обе части равенства на dx.                                                                                                                                                                                                        3. Выразить из полученного равенства dy/dx.                                                                                                                       4. Это и будет производная исходной функции по формуле

y`=dy/dx

_{Задание № 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.}

 _{в области,  ограниченной параболой и прямой .}

_{Строим  область:}  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

_{Рассмотрим  функцию z внутри области. Найдем первые частные производные:}

_{Приравнивая их нулю, найдем точку  условного экстремума (0, 0).}

_{Для выяснения типа точки  ищем вторые производные, обозначив их буквами:}

_{Далее составим величину , видно, она не зависит от координат и равна -1. Это значит, что точек экстремума внутри области нет.}

_{Рассмотрим  функцию на границах области.}

_{А) на прямой у=3 имеем}

_{. Тогда  и, приравнивая нулю, получим точку экстремума х=3.}

_{б) на параболе}

_.

_{Тогда и, приравнивая нулю, получим точки экстремума х1=0 и х2=1. этим точкам соответствуют значения у1=0 и у2=1/3 соответственно.}

_{Таким образом, мы получили 3 точки: О1(3, 3), О2(0, 0) и  О3(1, 1/3). Найдем значения функции в этих точках:}

_.

_{Таким образом, максимальное значение функции равно 1/6 , а минимальное -4.5.}