Возникнновение числа

3) дроби  общего вида, у которых числители  и знаменатели могут быть любыми числами.

Изобретение этих трёх различных видов дробей представляло для человечества разные степени трудности, поэтому разные виды дробей появлялись в разные эпохи.

Знакомство  человека с дробными числами началось с единичных дробей с малыми знаменателями.

Понятия «половина», «треть», «четверть», «осьмушка» употребляются часто

людьми, которые арифметике дробных чисел  никогда не обучались. Эти простейшие дроби изобрёл каждый народ самостоятельно в ходе своего развития.

     Единичные дроби. Древние египтяне, несмотря на то, что в течение

нескольких  тысячелетий  своей истории развили высокую культуру, оставили после себя прекрасные  памятники  искусства, владели многими отраслями техники, однако в арифметике дробных чисел не пошли далее изобретения единичных дробей

(и дроби  ). Если задача приводила к ответу, который мы выражаем дробным числом, египтяне его представляли в виде суммы единичных дробей или долей.

Если, например, ответ по нашему был , египтяне представляли его в виде суммы + + и писали без знаков сложения: _.

 Без  знака сложения обходились и  многие позднейшие народы, понимая  писание дробей рядом, как сложение. Этот египетский способ письма частично сохранился и у нас. Мы пишем смешанные числа, ставя рядом, без какого-либо соединяющего знака, число целых единиц  и дробей, и понимаем запись, как сумму: пишем вместо .

Может показаться, что египетский способ пользования одними лишь единичными дробями  делал решение задач сложным. Не всегда это так. Например, египетский автор решает задачу: нужно разделить 7 хлебов поровну между восемью лицами. Мы сказали бы, что каждый получает хлеба.

Для египтянина не было числа  , но он знал, что от деления 7 на 8 получается + + . Этот факт подсказывает ему, что для делёжа семи хлебов между восемью лицами нужно иметь 8 половинок, 8 четвертей и 8 осьмушек. Он режет 4 хлеба пополам, 2 хлеба – на четвертинки и 1 хлеб – на осьмушки и распределяет доли между получающими. Для делёжа пришлось сделать всего 4+6+7=17 разрезов.

Кладовщик, работающий в наши дни, которому предстоит  такая же задача деления хлебов, сообразив, что каждому получателю надо дать семь восьмушек, быть может, сочтет нужным разрезать все 7 хлебов предварительно на восьмушки, для чего ему требуется сделать 7х7=49 размеров. Как видим, в этой задаче египетский способ решения является более практичным.

Решение задач практической жизни при  помощи одних лишь долей (египетский способ) имело место почти у всех европейских народов, начиная с греков.

     Систематические дроби. Одновременно с единичными дробями появились и систематические дроби. Самый ранний по времени вид таких дробей есть

шестидесятеричные дроби, употреблявшиеся в древнем  Вавилоне. В этих дробях знаменателем служат числа 60; 60² = 3600, 60³ = 261 000,

60⁴, 60⁵ и т.д., и они сходны с нашими десятеричными дробями.

Шестидесятеричными  дробями пользовались все культурные народы до  XVII века, особенно в научных работах, поэтому они и назывались физическими или астрономическими дробями, а дроби общего вида, в отличие от них – обыкновенными или народными. Следы пользования этими дробями остались у нас до сих пор: минута есть 1/60, секунда 1/60² = 1/3600, терция 1/60³ = 1/216 000 часть числа.

     Десятичные дроби. Десятичные дроби представляют также вид систематических дробей.

К десятичным дробям математики пришли в разные времена в Азии и в Европе.

Зарождение  и развитие десятичных дробей в некоторых  странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II в. до н.э. там

существовала  десятичная система мер длины.

Примерно  в III в н.э. десятичный счет распространился  на меры массы и объёма. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей метрологическую форму.

Вот, например, какие меры массы существовали в  Китае в X веке: 1 лан = 10 цянь = 10² фэнь = 10³ ли = 10⁴ хао = 10⁵ сы = 10⁶ хо.

Если  вначале десятичные дроби выступали  в качестве метрологических,

конкретных дробей, десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичных дробей.

Целую часть от дробной стали отделять особым иероглифом «дянь» (точка).

Однако  в Китае, как и в древние, так  и в средние века десятичные дроби  не

имели полной самостоятельности, оставаясь  в той или иной мере связанными с метрологией.

Более полную и систематическую трактовку  получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученного ал-Каши в 20-х годах XV в. Независимо от него, в 80-х годах XVI в. десятичные дроби были «открыты» заново в Европе

нидерландским математиком Симоном Стевином.

В Средней  Азии и в Европе ученые пришли к  десятичным дробям по аналогии с шестидесятеричными и разработали теорию десятичных дробей.

В середине века ученые пользовались десятичной нумерацией для вычислений с  целыми числами, а шестидесятеричной – для вычислений с дробями в астрономии и других отраслях науки. Это породило трудности, связанные с переходом от одного основания к другому.

Нелегко усваивались обыкновенные дроби. Вообще считались самым трудным разделом арифметики. Поныне у немцев осталась поговорка «Попал в дроби», т.е. попал в трудное положение.

Идея  шестидесятеричных дробей, идея одинакового  систематического подразделения целого на одни и те же доли, с одной стороны, привели к мысли о десятичных дробях.

Среднеазиатский город Самарканд был в XV в. большим культурным центром. Там в знаменитой обсерватории, созданной видным астрономом Улугбеком, внуком Тамерлана, работал в 20-х годах XV в. крупный ученый того времени – Джемшид Гиясэддин ал-Каши. Это он впервые изложил учение о десятичных дробях.

В своей  книге «Ключ арифметики», написанной в 1427 г., ал-Каши пишет:

«Астрономы  применяют дроби, последовательными  знаменателями которых являются 60 и его последовательные степени. По аналогии мы ввели дроби, в которых последовательными знаменателями являются 10 и его последовательные степени.».

Ал-Каши называет сотые доли «десятичными секундами», тысячные – «десятичными терциями» и т.д. Термины эти заимствованы из шестидесятеричной нумерации.

Вводя десятичные дроби, ал-Каши поставил себе задачу создать простую и

удобную систему дробей, основанную на десятичной нумерации и имеющую те же преимущества, которые имели для вавилонян шестидесятеричные дроби.

Ал-Каши излагает правила и приводит примеры  действий с десятичными дробями. Оно вводит специфическую для десятичных дробей запись: целая и дробная часть пишутся в одной строке. Для отделения первой части от дробной он не применяет запятую[1], а пишет целую часть черными чернилами, дробную же – красными или отделяет целую часть от дробной вертикальной чертой.

Открытие  десятичных дробей ал-Каши стало известно в Европе лишь спустя 300 лет после того, как эти дроби были в конце XVI в. заново открыты С. Стевиным [2].

Фламандский инженер и ученый Симон Стевин (1548-1620), около 150 лет после ал-Каши, изложил учение о десятичных дробях в Европе. В 1585 г. он написал небольшую книгу под названием «Десятая».

Эта книга  состояла всего лишь из 7 страниц, однако содержала всю теорию

десятичных  дробей.

Запись  десятинных дробей у Стевина была отличной от нашей. Вот, например, как он записывал число 35,912: 35 0 9 1 1 2 2 3 или

Итак, вместо запятой нуль в кружке. В других кружках или над цифрами

указывается десятичный разряд: 1 – десятые, 2 – сотые и т.д.

Стевик  указывал на большое практическое значение десятичных дробей и

настойчиво  пропагандировал их. Он был первым ученым, потребовавшим введения десятичной системы мер и весов. Эта мечта ученого была осуществлена лишь спустя свыше 200 лет, когда была создана метрическая система мер.

     Дробь общего вида. Дроби общего вида , в которых и m, и n могут быть произвольными целыми числами, появляются уже в некоторых сочинениях Архимеда. Простейшие из таких дробей (2/3, 3/4) постепенно входят в употребление в житейской практике. Индусы уже в первые века нашего летосчисления установили современные правила действий над обыкновенными дробями. Эти правила через руководство среднеазиатских математиков – ал-Хорезми и других – вошли в европейские учебники арифметики. Это случилось ранее распространения десятичных дробей.

В «Арифметики» (1703) первого русского педагога-математика Леонтия Филипповича Магницкого (1669-1739) обыкновенные дроби излагаются подробно, десятичные же дроби – в специальной главе, как некоторый новый вид счисления, не имевшего при тогдашней системе мер большого практического значения. Только с введением метрической (десятичной) системы мер десятыми дроби заняли подобающее место в нашем обиходе.

    

2.3. Рациональные числа

 

Числа целые, дробны (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырем арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом. Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности.

Таким образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального числа, принципиальных затруднений.

Совокупность  рациональных чисел оказалась недостаточной  для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятий числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит в присоединении к рациональным числам т.н. иррациональных чисел.

      
 

     [1] Запятая вообще, как знак препинания,

была введена  на рубеже XV и XVI вв. венецианским типографом Альф Мануцци. Он же стал прилагать к книгам оглавление

     [2] До Симона Стевина десятичные дроби

употребляли Рудольфом, Ризе и Виет. Виет явно рекомендовал применять десятичные дроби вместо шестидесятеричных. Число 314, 1592636, например, Виет записывал так: 314, 159, 263,6.