Вопросы, ответы, задачи по теории вероятностей

Среднеквадратичное отклонение иногда называют "стандартом" случайной величины Х.

Итак:

 

Математическое ожидание m_x и D_x (или СКО ) наиболее частые употребляемые характеристики случайных величин, так как они определяют наиболее важные черты распределения, его положения и степень разбросанности.

 

Вернуться к вопросам

 

Ответ на билет 8

 

 

Вернуться к вопросам

 

Ответ на билет 9

 

Равномерное распределение

Равномерная плотность распределения определяется следующим образом:

Функция распределения определяется:

  

 

Найдем числовые характеристики:

(математическое ожидание)

(медиана),   Mod - не существует для данного распределения

(дисперсия),    (среднеквадратичное отклонение)

 

Вернуться к вопросам

 

Ответ на билет 10

 

Закон распределения Пуасона

Рассмотрим дискретную случайную величину х, имеющую ряд распределения:

X	X0=0	X1=1	…	Xm=m	…
P	P0	P1	…	Pm	…

Говорят, что данное случайное распределение подчинено закону распределения Пуасона.

(k=m-1)

 

Вернуться к вопросам

 

Ответ на билет 11

 

Нормальный закон распределения (закон Гауса)

Главная особенность в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие распределения, при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

 

 

 

 

Можно показать, что дисперсия

 

Вернуться к вопросам

 

Ответ на билет 12

 

 

Вернуться к вопросам

 

Ответ на билет 13

 

Независимые случайные величины.

 

  

Случайные величины x и y независимы если вероятность .

 

Для зависимых величин x и y вероятность

 

Корреляционным моментом или Ковариацией случайных величин x и y называют величину:

Можно показать, что для независимых случайных величин cov(x,y)=0

 

Коэффициент корреляций

 

  

 

Случайные величины x₁, x₂, x₃, …, x_n, называются не коррелированными, если

 

Вернуться к вопросам

 

Ответ на билет 14

 

Теорема о числовых характеристиках

 

1. Если c не случайная (детерминированная) величина, то M[c]=c и D[c]=0

 

2. Если c не случайная - постоянная, а Х случайная (детерминированная), то:

 

3. Математическое ожидание суммы нескольких величин равно сумме их ожиданий.

 

4. Математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.

 

5. Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный их корреляционный момент.

 

В общем случае:

, где

 

Для не корреляционных случайных величин:

 

 

Вернуться к вопросам

 

Ответ на билет 15

В широком смысле слова, закон больших чисел характеризует устойчивость средних. При очень большом числе случайных явлений - перестает быть случайным и может быть предсказан с большей степенью определенности. В узком смысле под законом больших чисел понимается ряд математических теорем, в которых устанавливаются факты приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным. Другая группа предельных теорем касается уже не предельных значений случайных величин, а предельных законов распределения. Эта группа теорем известна под названием "центральной предельной теоремы".

Неравенство Чебышева.

P( |X-m_x| > E) <= D_x/E²

 

 

 

 

Теорема Чебышева

Теорема Чебышева дает одну из наиболее возможных форм закона больших чисел. Она устанавливает связь между средним арифметическим и ее математическим ожиданием наблюденных значений случайной величины.

Y_n=( X₁ + X₂ + …. + X_n) * 1/n = 1/n

M[Yn] = i/n = 1/n * = 1/n * n * m_x = m_x

Мат ожидание среднего не зависит от n

Теорема Чебышева устанавливает в точной количественной форме это свойство устойчивости среднего арифметического.

Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности n т ее математическому ожиданию.

В можематической форме это означает следующее:

, где и сколь угодно положительные числа и .

 

Теорема Бернулли

Теорема Бернулли: При неограниченном увеличении числа опытов n, частота события a сходится по вероятности к его вероятности P

- (вероятность).  m-произошло событие. n-число опытов.

  близко к 0

  

 

Вернуться к вопросам

 

Ответ на билет 16

 

Центральная предельная теорема

Рассмотрим одну из наиболее общих форм центральной предельной теоремы:

Пусть имеется взвешенная сумма независимых случайных непрерывных величин x₁, x₂, x₃, …., x_n с произвольными законами распределения:

, где постоянная, фиксированная числа.

Пусть i-ая случайная величина имеет и (i=1,2,3,…,n-1,n)

Согласно теореме о числовых характеристиках случайных величин, получим:

Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно общих условиях распределения суммарной Y_n при стремиться к нормальному распределению

 

Опыт показывает, что когда или меньше, то закон распределения суммы может быть заменен нормальным.

Вернуться к вопросам

 

Ответ на билет 17

 

 

Вернуться к вопросам

 

Ответ на билет 18

 

 

Вернуться к вопросам

 

Ответ на билет 19

 

Доверительный интервал и доверительная вероятность используется в математической статистике точности и надежности полученной оценки a* неизвестного параметра a.

 

=0,95 или 0,98; 0,99 - Назначим вероятность достаточно большую.

Найдем значение интервала , при котором вероятность a*-a

вероятность, что выйдет за пределы интервала:

Интервал, покрывающий a называется доверительным интервалом.

Вероятность называется доверительной вероятностью.

 

 

 

 

 

Оценка a* называется точечной оценкой.

Оценка называется интервальной оценкой.

Вернуться к вопросам

  
Теорема о повторении опытов

 

Рассмотрим серию из n однородных, не зависимых опытов, проводимых в одинаковых условиях, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А. Вероятность появления F=P, не появления q=1-P. Предполагается, что вероятность р остается одной и той же в каждом опыте.

Требуется найти вероятность Р_m,n того, что А в этих n опытах появится ровно m раз (0<=m<=n).

-Биномиальное распределение.

, где

Если производится n неизвестных опытов в каждом из которых событие А появляется с вероятностью Р, то вероятность того что событие А появится ровно m раз выражается формулой:

 

Вернуться к билетам.

  
Задача 1

 

Задача на схему случаев

В урне 3 белых и 4 черных шара. Какова вероятность изъятия из урны трех черных шаров?

 

n - общее число возможных случаев изъятия 3 шаров из урны.

m - число благоприятных случаев. (все три шара черные)

 

, 

 

Вернуться к билетам.

 

Задача 2

 

Задача на не совместные события.

Мишень состоит из 2-х зон, при одном выстреле вероятность попадания в зону 1=0,2, в зону 2=0,4

Найти вероятность промаха?

 

- попадание.

- промах.

А=А₁+А₂; P(A)=P(A₁)+P(A₂)-P(A₁A₂); P(A₁A₂)=0

Вернуться к билетам.

 

Задача 3

 

Задача на умножение вероятностей.

В урне находится 3 белых и 2 черных шара. Вынимается по 2 шара.

Найти вероятность того, что оба шара белые?

 

А₁ - первый шар белый.

А₂ - второй шар белый.

А=А₁А₂

Вернуться к билетам.

 

Задача 4

 

Задача на умножение вероятностей.

В урне находятся 3 белых и 2 черных шара. Вынимают по очереди 2 шара, причем первый обратно возвращают.

Какова вероятность что будут вынуты оба черных шара?

 

Вернуться к билетам.

 

Задача 5

 

Задача на формулу полной вероятности.

Имеется 3 урны.

В одной 2 белых и 1 черный шар

Во второй 1 белый и 1 черный шар.

В третьей 3 белых и 2 черных шара.

Выбирается одна из урн и из нее 1 шар. Какова вероятность, что шар черный?

 

А - черный шар. P(A)=?

n=10 m=4  

 

Второй способ через формулу полной вероятности.

H₁; H₂; H₃;

Вернуться к билетам.

 

Задача 6

 

Задача на теорему о повторении опытов.

Проводят 4 независимых опыта. Вероятность события в каждом из опыте равна 0,3

Построить ряд и многогранник числа событий.

 

Введем Х-число появлений событий в результате проведенных опытов.

X=X₀=0

X=X₁=1

X=X₂=2

X=X₃=3

X=X₄=4

 

- теорема о повторении опытов.

 

X	0	1	2	3	4
P	0,0024	0,588

P0,4=1*1*0,7⁴=0,0024

P1,4= *0,3¹*0,7³=0,588

P2,4= *0,3²*0,7²=

P3,4= *0,3³*0,7¹=

P4,4= *0,3⁴*0,7⁰=

 

 

Вернуться к билетам.

 

Задача 7

 

Задача на подсчет вероятностей

Мишень состоит из 4 зон, производится один выстрел.

Найти вероятность промоха, если вероятность попадание в зоны известна и равна:

P₁=0,1

P₂=0,15

P₃=0,20

P₄=0,25

 

A - попадание в мишень.

- промах.

 

 

Вернуться к билетам.

 

Задача 8

 

Задача на условную вероятность.

В урне находятся 3 белых и 2 черных шара. Вынимаются 2 шара.

Найти вероятность, что оба шара белые.

А₁ - белый шар

А₂ - белый шар

P(A₁A₂)=?

 

C=A₁A₂

 

Если первый шар возвращается в урну.

P(A₁)=P(A₂)

 

Вернуться к билетам.

 

Задача 9

 

a=? F(x)=? m_x=? 

 

 

 

Вернуться к билетам.