Вклад Декарта, Г. Лейбница, Бернулли И ,Г.Кантора, Л.Эйлера в создании и развитии функции

Содержание

 

Введение…………………………………………………………………….3

1 Вклад Эйлера в науку…………………………………………………….4

2Вклад  Г. Кантора в науку…………………………....…………………5-6

3Вклад  Г.Лейбница в науку…………………………………….………..7-9

4Вклад  Декарта в науку……………………………………….……….10-11

5Вклад Бернулли в науку……….………………………….……………..12

Заключение…………………………………………………………………13

 

Список использованной литературы……………………………………...14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                       

 

Введение

    

В данном реферате мы будем говорить о вкладах Декарта, Г. Лейбница, Г.Кантора, Бернулли И, Л. Эйлера в науку, создании и развитии функции, а так же нового мощного аппарата исследований интегрального и дифференциального исчислений»

Цель реферата, показать и рассмотреть вклады Декарта, Г. Лейбница, Г.Кантора, Бернулли И, Л. Эйлера в математику.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Вклад Эйлера в науку

Леонард Эйлер, выдающийся математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер — автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым 3вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние на развитие науки. Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный.

Научное наследие Леонарда Эйлера колоссально. Ему принадлежат классические результаты в математическом анализе. Он продвинул его обоснование, существенно развил интегральное исчисление, методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Эйлеру принадлежит знаменитый шеститомный курс математического анализа, включающий «Введение в анализ бесконечно малых», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление». На этой «аналитической трилогии» учились многие поколения математиков всего мира.

Эйлер получил основные уравнения  вариационного исчисления и определил  пути дальнейшего его развития, подведя главные итоги своих исследований в этой области в монографии «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума». Значительны заслуги Эйлера в развитии теории функций, дифференциальной геометрии, вычислительной математики, теории чисел. Двухтомный курс Эйлера «Полное руководство по алгебре» выдержал около 30 изданий на шести европейских языках.

 

2. Вклад Г. Кантора в науку

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился 19 февраля (3 марта) 1845 г. в Санкт-Петербурге.

Первоначально математические интересы Кантора были направлены на теорию чисел. К ней относятся  его диссертация 1867 г. «О неопределенных уравнениях второй степени» и ряд  последовавших за ней работ, в  том числе и сочинение 1869 г. «О преобразовании тернарных квадратичных форм», представленное им на право чтения лекций и доставившее ему звание приват-доцента в университете в Галле. Опубликование  Кантором первых работ по теории множеств в 1870-х — начале 1880-х годов, вводящих в рассмотрение так называемые мощности актуально бесконечных множеств и арифметики бесконечных чисел, вызвало сразу же серьезное сопротивление как в среде математиков, так и в среде философов. Вопрос о существовании актуально бесконечных множеств был классическим философским вопросом, и господствующим мнением здесь со времен античности было отрицание самой возможности таких множеств. Кантор же претендовал давать какие-то градации этих невозможных бесконечностей. Ситуация была довольно скандальной, и Кантору пришлось достаточно рано вступить не только в математическую, но и в философскую дискуссию. Так, один из основных первоначальных трудов Кантора по теории множеств, специально обсуждающий концепцию бесконечных чисел, называется «Основы общего учения о многообразиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном». Он был выпущен в 1883 г.  Кантор настойчиво объяснял различие актуальной и потенциальной бесконечностей. «Что касается математической бесконечности... она, как мне кажется, выступает прежде всего в значении некоторой переменной, то растущей сверх всяких границ, то убывающей до произвольной малости, но всегда остающейся конечной величиной. Такое бесконечное «я называю несобственно бесконечным». Вместе с этим понятием несобственной (или потенциальной) бесконечности в математике встречаются примеры и другого рода, пишет Кантор. Таково, например, использование бесконечно удаленной точки комплексной плоскости в теории функций комплексной переменной. Здесь эту точку рассматривают в собственном смысле, т.е. рассматривают ее окрестности, поведение функции в этой точке и т.д. Благодаря преобразованиям, изучаемым в этой теории, бесконечно удаленная точка становится равноправной со всеми другими конечными точками плоскости. «Если бесконечное выступает в подобной вполне оправданной форме, то он называл его собственно бесконечным. Действительно, с XVII столетия в математике начинают использовать актуально бесконечные величины. Наряду с бесконечно удаленной точкой в проективной геометрии рассматривают также бесконечно удаленные прямые и плоскости. Основное понятие математического анализа — дифференциал также рассматривался многими как актуально бесконечно малая величина.

Кантор четко различает  три типа величин: конечные, потенциально бесконечные и актуально бесконечные. Вторые не есть собственно бесконечные, а представляют собой лишь переменное конечное. Собственно бесконечное, как вводит его Кантор, представляет собой одновременно и определенное бесконечное, бесконечные порядковые числа. Эта точка зрения находилась в вопиющем противоречии с более чем двухтысячелетней традицией понимания бесконечного.

Любопытны разъяснения, которые Кантор давал относительно своих бесконечных чисел (точнее, кардиналов). «Каждое множество четко  отличающихся друг от друга вещей  можно рассматривать как некую единую вещь саму по себе, в которой рассматриваемые вещи являются составными частями или конститутивными элементами.

 Если абстрагироваться  как от свойств элементов, так  и от порядка их заданий,  то получается кардинальное число, или мощность множества, — общее понятие, элементы в котором в виде так называемых единиц срастаются известным образом в такое органическое единое целое, что ни один из них не имеет привилегированного положения в отношении других.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Вклад Г.Лейбница в науку

Лейбниц Готфрид Вильгельм - 21 июня (1 июля) 1646 — 14 ноября 1716) — немецкий философ, логик, математик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед.

Важнейшие научные  достижения:

• Лейбниц, независимо от Ньютона, создал математический анализ — дифференциальное и интегральное исчисление, основанные на бесконечно малых.
• Лейбниц создал комбинаторику как науку; только он во всей истории математики одинаково свободно работал как с непрерывным, так и с дискретным.
• Он заложил основы математической логики.
• Описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника.
• Первым ввёл понятие «живой силы» (кинетической энергии) и сформулировал закон сохранения энергии.
• Выдвинул в психологии понятие бессознательно «малых перцепций» и развил учение о бессознательной психической жизни.

Ряд приёмов решения  задач на проведение касательных, отыскание  экстремумов и вычисление квадратур  был создан ещё до Лейбница, однако в работах его предшественников отсутствовал общий метод, позволяющий распространить исследования, ограниченные преимущественно целыми алгебраическими функциями, на любые дробные и иррациональные и особенно на трансцендентные функции. В этих работах не были сколько-нибудь отчётливо выделены основные понятия анализа, а также не были установлены их взаимосвязи, не имелось развитой и единой символики. Готфрид Лейбниц свёл частные и разрозненные приёмы в единую систему взаимно связанных понятий анализа, выраженных в обозначениях, позволяющих производить действия с бесконечно малыми по правилам определённого алгоритма. 1675: Лейбниц создаёт дифференциальное и интегральное исчисление и впоследствии опубликовывает главные результаты своего открытия, опережая Ньютона, который ещё раньше Лейбница пришёл к сходным результатам, но в то время ещё не публиковал их, хотя Лейбницу некоторые из них были известны в приватном порядке. 1684: Лейбниц публикует первую в мире крупную работу по дифференциальному исчислению: «Новый метод максимумов и минимумов». В работе Лейбница излагаются основы дифференциального исчисления, правила дифференцирования выражений.

 

Используя геометрическое истолкование отношения dy/dx, он кратко разъясняет признаки возрастания и убывания, максимума и минимума, выпуклости и вогнутости (следовательно, и достаточные условия экстремума для простейшего случая), а также точки перегиба. 1686: Лейбниц даёт подразделение вещественных чисел на алгебраические и трансцендентные; ещё раньше он аналогично классифицировал кривые линии. Впервые в печати вводит символ для интеграла (и указывает, что эта операция обратна дифференцированию). 1692: введено общее понятие огибающей однопараметрического семейства кривых, выведено её уравнение. Теорию огибающих семейства кривых Лейбниц разрабатывал одновременно с X. Гюйгенсом в 1692—1694 годах. 1693: Лейбниц рассматривает вопрос о разрешимости линейных систем; его результат фактически вводит понятие определителя. Но это открытие не вызвало тогда интереса, и линейная алгебра возникла только спустя полвека. 1695: Лейбниц вводит показательную функцию в самом общем виде: . Позже, в 1697 году, Иоганн Бернулли изучал исчисление показательной функции. 1702: совместно с Иоганном Бернулли Лейбниц открыл приём разложения рациональных дробей на сумму простейших. Это решает многие вопросы интегрирования рациональных дробей.

Лейбниц ввёл следующие  термины: «дифференциал», «дифференциальное исчисление», «дифференциальное уравнение», «функция», «переменная», «постоянная», «координаты», «абсцисса», «алгебраические и трансцендентные кривые», «алгоритм» (в смысле, близком к современному). Хотя математическое понятие функции подразумевалось в тригонометрических и логарифмических таблицах, которые существовали в его время, Лейбниц был первым, кто использовал его явно для обозначения любого из нескольких геометрических понятий, производных от кривой, таких как абсцисса, ордината, тангенс, хорда и нормаль.

Лейбниц сформулировал  понятия дифференциала как бесконечно малой разности двух бесконечно близких  значений переменной величины и интеграла  как суммы бесконечного числа  дифференциалов и дал простейшие правила дифференцирования и  интегрирования уже в своих парижских рукописных заметках, относящихся к октябрю и ноябрю 1675 года; здесь же у Лейбница впервые встречаются современные знаки дифференциала d и интеграла ∫. Определение и знак дифференциала были даны Лейбницем в опубликованном в 1684 году первом мемуаре по дифференциальному исчислению «Новый метод максимумов и минимумов...».

 

 

 В этом же сочинении  были приведены без доказательств  правила дифференцирования суммы,  разности, произведения, частного, любой  постоянной степени, функции от функции (инвариантность первого дифференциала), а также правила отыскания и различения (с помощью второго дифференциала) максимумов и минимумов и отыскание точек перегиба. Дифференциал функции был определён как отношение ординаты к подкасательной, умноженное на дифференциал аргумента, величина которого может быть взята произвольно; вместе с тем Лейбниц указал, что дифференциалы пропорциональны бесконечно малым приращениям величин и что на основании этого легко получить доказательства его правил.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Вклад Декарта  в науку

Декарт Рене - французский математик, философ, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автор метода радикального сомнения в философии, в физике, предтеча рефлексологии. В 1637 году вышел в свет главный математический труд Декарта, «Рассуждение о методе» (полное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках»). В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях — многочисленные результаты в алгебре, геометрии, оптике (в том числе — правильная формулировка закона преломления света) и многое другое. Особо следует отметить переработанную им математическую символику Виета, с этого момента близкую к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c…, а неизвестные — x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид (дробные и отрицательные утвердились благодаря Ньютону). Появилась черта над подкоренным выражением. Уравнения приводятся к канонической форме (в правой части — ноль). Символическую алгебру Декарт называл «Всеобщей математикой», и писал, что она должна объяснить «всё относящееся к порядку и мере». Создание аналитической геометрии позволило перевести исследование геометрических свойств кривых и тел на алгебраический язык, то есть анализировать уравнение кривой в некоторой системе координат. Этот перевод имел тот недостаток, что теперь надо было аккуратно определять подлинные геометрические свойства, не зависящие от системы координат (инварианты). Однако достоинства нового метода были исключительно велики, и Декарт продемонстрировал их в той же книге, открыв множество положений, неизвестных древним и современным ему математикам. Декарт исследовал алгебраические функции (многочлены), а также ряд «механических» (спирали, циклоида). Для трансцендентных функций, по мнению Декарта, общего метода исследования не существует. Комплексные числа ещё не рассматривались Декартом на равных правах с положительными, однако он сформулировал (хотя и не доказал) основную теорему алгебры: общее число вещественных и комплексных корней уравнения равно его степени. Отрицательные корни Декарт по традиции именовал ложными, однако объединял их с положительными термином действительные числа, отделяя от мнимых (комплексных). Этот термин вошёл в математику. Впрочем, Декарт проявил некоторую непоследовательность: коэффициенты a, b, c… у него считались положительными, а случай неизвестного знака специально отмечался многоточием слева.Все неотрицательные вещественные числа, не исключая иррациональные, рассматриваются Декартом как равноправные; они определяются как отношения длины некоторого отрезка к эталону длины. Позже аналогичное определение числа приняли Ньютон и Эйлер.