Условный экстремум. Функция Лагранжа

 

                            Канашский Педагогический Колледж

 

 

 

     Реферат

         На тему: Условный экстремум. Функция Лагранжа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент 203 группы

Ямалетдинов И.А.

 

 

 

 

                                      Канаш 2013

                                 1. Условные Экстремумы

 

При отыскании экстремумов функции  многих переменных часто возникают  задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.

Пусть заданы функция и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P(x, y), в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.

Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Поясню сказанное обычным примером. Графиком функции является верхняя полусфера (Приложение 3 (Рис 3)).

Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение x+y-1=0), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке , лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции на данной линии; ей соответствует точка M₁ на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.

Отметим, что в заключительной части  задачи об отыскании наибольшего  и наименьшего значений функции  в замкнутой области нам приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.

Приступим теперь к практическому  отысканию точек условного экстремума функции Z= f(x, y) при условии, что переменные x и y связаны уравнением j(x, y) = 0. Это соотношение будем называть уравнение связи. Если из уравнения связи y можно выразить явно через х: y=j(x), мы получим функцию одной переменной Z= f(x, j(x)) = Ф(х).

Найдя значение х, при  которых эта функция достигает  экстремума, и определив затем  из уравнения связи соответствующие  им значения у, мы и получим искомые  точки условного экстремума.

Так, в вышеприведенном примере  из уравнения связи x+y-1=0 имеем y=1-х. Отсюда

 

Легко проверить, что z достигает максимума при х = 0,5; но тогда из уравнения связи y=0,5, и мы получаем как раз точку P, найденную из геометрических соображений.

Очень просто решается задача на условный экстремум и тогда, когда  уравнение связи можно представить  параметрическими уравнениями х=х(t), y=y(t). Подставляя выражения для х и у в данную функцию, снова приходим к задаче отыскания экстремума функции одной переменной.

Если уравнение связи имеет  более сложный вид и нам  не удается ни явно выразить одну переменную через другую, ни заменить его параметрическими уравнениями, то задача отыскания условного  экстремума становится более трудной. Будем по-прежнему считать, что в выражении функции z= f(x, y) переменная j(x, y) = 0. Полная производная от функции z= f(x, y) равна:

 

Где производная y`, найдена по правилу дифференцирования неявной функции. В точках условного экстремума найденная полная производная должна ровняться нулю; это дает одно уравнение, связывающее х и у. Так как они должны удовлетворять еще и уравнению связи, то мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

Преобразуем эту систему к гораздо  более удобной, записав первое уравнение  в виде пропорции и введя новую вспомогательную неизвестную l:

(знак минус перед l поставлен для удобства). От этих равенств легко перейти к следующей системе:

 

f`<sub>x</sub>=(x,y)+lj`_x(x,y)=0, f`<sub>y</sub>(x,y)+lj`_y(x,y)=0 (*),

 

которая вместе с уравнением связи j(x, y) = 0 образует систему трех уравнений с неизвестными х, у и l.

Эти уравнения (*) легче всего запомнить при помощи следующего правила: для того, чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции

Z= f(x, y) при уравнении связи j(x, y) = 0, нужно образовать вспомогательную функцию

Ф(х,у)=f(x,y)+lj(x,y)

Где l-некоторая постоянная, и составить уравнения для отыскания точек экстремума этой функции.

Указанная система уравнений  доставляет, как правило, только необходимые  условия, т.е. не всякая пара значений х и у, удовлетворяющая этой системе, обязательно является точкой условного экстремума. Достаточные условия для точек условного экстремума я приводить не стану; очень часто конкретное содержание задачи само подсказывает, чем является найденная точка. Описанный прием решения задач на условный экстремум называется методом множителей Лагранжа.

 

2. Метод множителей Лагранжа

 

Метод множителей Лагранжа имеет наглядный геометрический смысл, который я сейчас поясню.

Предположим, что на рис 4 (Приложение 4) изображены линии уровня функции Z= f(x, y) и линия L, на которой отыскиваются точки условного экстремума.

Если в точке Q линия L пересекает линию уровня, то эта точка не может быть точкой условного экстремума т.к. по одну сторону от линии уровня функция Z= f(x, y) принимает большие значения, а по другую - меньшие. Если же в точке P линия L не пересекает соответствующую линию уровня и, значит, в некоторой окрестности этой точки лежит по одну сторону от линии уровня, то точка P будет как раз являться точкой условного экстремума. В такой точке линия L и линия уровня Z= f(x, y) =С касаются друг друга (предполагается, что линии гладкие). И угловые коэффициенты касательных к ним должны быть равны. Из уравнения связи j(x, y) = 0 имеем

y`=-j`_x/j`<sub>y</sub>, а из уравнения линии уровня y`=-f_x`/f<sub>y</sub>`. Приравнивая производные и произведя простейшее преобразование мы получим уравнение

Приведенное рассуждение  теряет силу, если линия уровня такова, что во всех ее точках f_x`=0, f<sub>y</sub>`=0. Можно рассмотреть, например, функцию z = 4-x² и линию уровня x=0, соответствующую значению z = 4.

Можно искать условный экстремум  функции f(x,y,z) при двух уравнениях связи: j₁(x, y, z) = 0 и j₂(x, y, z) = 0

Эти уравнения определяют линию в пространстве. Таким образом  задача сводится к отысканию такой точки линии, в которой функция принимает экстремальное значение, причем сравниваются значения функции только в точках рассматриваемой линии.

Метод множителей Лагранжа в этом случае принимается следующим  образом: строим вспомогательную функцию

Ф(x, y, z) = f(x, y, z)+l₁j₁(x, y, z) +l₂j₂(x, y, z), где l₁ и l₂- новые дополнительные неизвестные, и составляем систему уравнений для

 

отыскания экстремумов этой функции.

Добавляя сюда два уравнения  связи получаем систему уравнений  с пятью неизвестными x, y, z, l₁, l₂. Искомыми точками условного экстремума могут быть только те, координаты х, у, z которых являются решением этой

 

системы.

 

 

Заключение

 

Математический  анализ это совершенно естественная, простая и элементарная наука, ничуть не более заумная, сложная или “высшая”, чем, скажем, “элементарная” геометрия. Многие теоремы, традиционно входившие в курс геометрии, куда сложнее, чем основополагающие теоремы классического анализа. Ныне противопоставление элементарной математики и анализа непродуктивно, и вовсе необязательно проявлять бездну остроумия только лишь из боязни использовать свойства производной.

Привнесение элементов  математического анализа в школьные программы неизбежно приведет к  перестройке и других областей математического  образования – изменится содержание конкурсных задач, кружковой работы, математических олимпиад и многого другого. Теперь уже невозможно не учитывать, что школьник должен знать нечто из ранее недоступной ему высшей математики.

При этом следует иметь  в виду, что если освоены лишь самые основы математического анализа, можно уже делать попытки подобраться ко многим современным проблемам.

При рассмотрении данной темы теоретические сведения подтвердились  практическим доказательством и  математическим обоснованием.

 

 

Список использованной литературы

 

1.Интернет.