Упорядоченные множества

Доказательство. Если a₁ и a₂ - любые элементы множества A, b₁ и b₂ - соответствующие им, при взаимно однозначном отображении A и B, элементы B, и b₁ < b₂, то положим a₁ < a₂. Легко проверить, что определенное как отношение порядка в A обладает свойствами 1) и 2) и, очевидно, A подобно B.  

Теорема 6. Любое конечное упорядоченное множество A содержит первый и последний элемент (если только A не пусто).     

Доказательство. Пусть A не имеет последнего элемента. Берем любой элемент a₁ ϵ A.

 Так как  он не последний, то существует a₂ ϵ A такой, что a₁ < a₂; так как a₂ - не последний, то существует a₃ ϵ A такой, что a₂ < a₃. Если элемент a_n построен, то существует a_n+1 ϵ A такой, что a_n < a_n+1. По индукции элемент a_n построен для любого n.

Пусть

N' = {a₁, a₂, a₃, ...}

Пусть

N' = {a₁, a₂, a₃, ...}

- множество  всех построенных элементов. Очевидно, что из i < k следует по свойству 2) a_i < a_k, откуда по свойству 1)a_i≠a_k. Значит, N' равномощно множеству натуральных чисел. Поэтому множество A бесконечно (см. теорему 5), что невозможно. Существование первого элемента доказывается аналогично.     

Теорема 7. Любое конечное множество можно упорядочить. Все конечные упорядоченные множества с одним и тем же числом элементов n > 0 подобны отрезку |1, n| натурального ряда и, значит, подобны между собой.     

Доказательство. Пустое множество упорядочено по определению. Если A≠0  - конечное множество, то A ~ |1, n|. Отрезок |1, n|, очевидно, есть упорядоченное множество. По теореме 5 множество A можно упорядочить. Пусть теперь A - любое конечное упорядоченное множество с числом элементов n > 0. По теореме 6 множество A содержит первый элемент a₁. Если n > 1, то множество

и снова содержит первый элемент a₂, причем a₁ < a₂. Пусть уже построен элемент a_i. Если i < n, то

и по теореме 6 оно  содержит первый элемент a_i+1, причем a_i < a_i+1. Так мы построим элементы a_i для всех  . Множество

A_n = {a₁, a₂, ..., a_n} ~ |1, n| ~ A.

Множество A не равномощно собственному подмножеству (см. теорему 1). Значит,

A = A_n = {a₁, a₂, ..., a_n}.

Очевидно, что  из i < k следует a_i < a_k, т. е. A подобно отрезку |1, n|.     

Из этой теоремы  следует, что все n! возможных перестановок множества с n элементами имеют один и тот же тип. 
 
 
 
 

Вполне упорядоченные множества 

          Упорядоченное множество  называется вполне упорядоченным, если каждое его подмножество обладает первым элементом (т. е. элементом, за которым следуют все остальные). Все конечные упорядоченные множества вполне упорядочены. Натуральный ряд, упорядоченный по возрастанию (а также некоторыми др. способами), образует вполне упорядоченное множество. Важность вполне упорядоченных множеств определяется главным образом тем, что для них справедлив принцип трансфинитной индукции.

          Упорядоченные множества, имеющие одинаковый порядковый тип, обладают и одинаковой мощностью, так  что можно говорить о мощности данного порядкового типа. С др. стороны, конечные упорядоченные множества одинаковой мощности имеют один и тот же порядковый тип, так что каждой конечной мощности соответствует определённый конечный порядковый тип. Положение меняется при переходе к бесконечным множествам. Два бесконечных упорядоченных множества могут иметь одну и ту же мощность, но разные порядковые типы.

          Частично упорядоченное  множество называется направленным, если для всяких его элементов х и у существует такой элемент z, что z ϕ̲ х и z ϕ̲ у (a ϕ̲ b означает, что либо a ϕ̲ b, либо а = b). Понятие направленного множества позволяет дать весьма общее определение предела. Пусть f (p) - числовая (для простоты) функция, заданная на направленном множестве М; число с называется пределом f (p) по направленному множеству М, если для всякого ε > 0 найдётся такой элемент   ̅p ϵ M, что для всех p из М таких, что р ≥ р выполняется неравенство|f(p)-c|<ɛ Предела и охватывает весьма широкий класс частных случаев.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

      В заключении можно отметить, что теорию упорядоченных множеств создал Г. Кантор. В 1883 он ввёл понятие вполне упорядоченного множества и порядкового числа, а в 1895 – понятие упорядоченного множества и порядкового типа. В 1906–07 С. О. Шатуновский сформулировал определения направленного множества (у Шатуновского – расположенный комплекс) и предела по направленному множеству (амер. математиками Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом эти же понятия были рассмотрены независимо от Шатуновского, но значительно позднее – в 1922). Общее понятие частично упорядоченного множества принадлежит Ф. Хаусдорфу (1914).

      Таким образом, теория частичных алгебраических действий, будучи продолжением теории полных действий, пользуясь ее достижениями, связанная с ней идеями и опытом приложений за пределами алгебры, все же должна оформиться как самостоятельное направление в обширной области современной алгебры.

      К настоящему времени опубликованы сотни  работ, специально посвященных изучению частичных действий. Что касается работ, в которых те или иные частичные действия встречаются по ходу исследования, то число их не поддается оценке. О частичных действиях говорится и в некоторых общих алгебраических трудах, но всегда очень кратко.

      Список используемой литературы 

1. Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. – Л., 2003;
2. А.К. Клифорд, Г. Престон. Алгебраическая теория полугрупп, 2005;
3. Кожевников О.Б. Частично упорядоченные множества, Москва, 2001;
4. Ляпин Е.С. Алгебра и теория чисел. Москва, 2000;
5. Д.Кук, Г.Бейз «Компьютерная математика», 2003;
6. Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. – Л., 1997;
7. Куратовский К., Мостовскиq А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1980;
8. Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1995.