Теория вероятности

 

  Вариант № 10

  Задача 1.1.

  Из таблицы  для варианта 4 имеем K=7, H=4, M=4, P=2

  В урне содержится 7 черных и 4 белых шаров. Случайным  образом вынимают 4 шаров. Найти вероятность  того, что среди них имеется:

  а) 2 белых  шара;

  б) меньше чем 2 белых шара;

  в) хотя бы один белый шар.

  Испытанием  будет случайное вынимание четырех  шаров. Элементарными событиями  являются всевозможные сочетания по 4 из 11 шаров. Их число равно

  

               

  а) - среди вынутых шаров 2 белых. Значит, среди вынутых шаров 2 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

  б) - среди вынутых шаров меньше чем 2 белых. Это событие состоит из 2х несовместных событий:

   - среди вынутых шаров только один белый и 3 черных шара,

   - среди вынутых шаров  нет  белых и все  шары черные,

  

  Так как  события  , и несовместны, можно использовать формулу:

    

  Имеем:

   ;

                

  в) - среди вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый и 3 черных ( ), 2 белых и 2 черных ( ), 3 белых и 1 черных ( ), 4 белых и 0 черных ( ), Имеем:

  

  Здесь событие  определяется словами «хотя бы один» и прямое решение приводит обычно к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события и затем по формуле =1 вычислить вероятность искомого события.

   - среди вынутых шаров  нет  ни одного белого. В этом случае 

      

  Ответ: ., ., . 

  Задача 1.2.  Подставив вариант 10, получим:

     ; ;

  Устройство  состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени  Т безотказно соответственно с вероятностями 0,951; 0,851; 0,801. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

  а) только один элемент;

  б)  хотя бы один элемент.

  Испытание, т.е. работу за время Т, нужно рассмотреть  в двух уровнях: на уровне устройства и на уровне элементов. Элементарные события определять не надо, так как их вероятности заданы.

  а) - за время Т выходит из строя только один элемент:

   - первый элемент выходит из  строя;

   - второй элемент выходит из  строя;

   - третий элемент выходит из  строя;

   - первый элемент не выходит  из строя;

   - второй элемент не выходит  из строя;

   - третий элемент не выходит  из строя;

  

  Учитывая  независимость элементов устройств, несовместность событий  и , и формулы и , получаем следующую формулу:

  

  По условию,

  

  

  

  

  б) - за время Т выходит из строя хотя бы один элемент. Событие определяется словами «хотя бы один», значит, используем противоположное событие.

   - за время Т все элементы  работают безотказно:

   .

  

  

  Ответ: ,

Задача 1.3. Подставляя вариант 10, получаем k = 4 R = 9, L = 4, р₁ = 0,91, р₂ = 0,56.

В пирамиде 9 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,91, а стреляя из винтовки без оптического прицела, с вероятностью 0,56. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

В этой задаче первым испытанием является случайный выбор  винтовки, вторым – стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события:

А-стрелок поразит  мишень;

В₁-стрелок возьмет винтовку с оптическим прицелом;

В₂-стрелок возьмет винтовку без оптического прицела.

Используя формулу  полной вероятности 

Имеем

Учитывая, что  винтовки выбираются по одной, получаем n= =9 и соответственно m₁= =3 (для В₁) и m₁= =6 (для В₂); таким образом, Р(В₁)= , Р(В₂)= .

Условные вероятности  заданы в условии задачи:

Р(А|В₁)=0,91 и Р(А|В₂)=0,56.

Следовательно,

Р(А)= +0,56 = 0,677

Ответ: Р(А)= 0,677

Задача 1.4.

Подставляя вариант 10, получаем к=4, М₁=9, М₂=16, М₃=21, р₁=0,95, р₂=0,86,

р₃=0,81.

В монтажном  цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами – изготовителями. На складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 9,16 и 21шт., которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,95, 0,86 и 0,81. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, сто смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.

Первым испытанием является выбор электродвигателя, вторым – работа электродвигателя во время  гарантийного срока. Рассмотрим следующие  события:

А – Электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока;

В₁ – монтер возьмет двигатель из первой продукции 1-го завода;

В₂ – монтер возьмет двигатель из первой продукции 2-го завода;

В₃ – монтер возьмет двигатель из первой продукции 3-го завода;

Вероятность события  А вычисляем по формуле полной вероятности:

Условные вероятности  заданы в условии задачи:

Р(А|В₁)= 0,95,  Р(А|В₂)= 0,86,  Р(А|В₃)= 0,81.

Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:

Р(В₁)= =0,196, Р(В₂)= =0,348, Р(В₃)= =0,456.

Р(А)=0,95 +0,86 +0,81 =0,852.

По формуле  Бейса Р(В_i|А)= вычисляем условные вероятности событий (гипотез) В₁,В₂,В₃:

Р(В₁|А)=

Р(В₂|А)= 0,351

Р(В₃|А)=  

Ответ: Р(В₁|А)=0,218, Р(В₂|А)= 0,351, Р(В₃|А)=0,431

  Задача 1.5. В каждом из 11 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,40. Вычислить все вероятности , где k – частота события А. Построить график вероятностей . Вычислить наивероятнейшую частоту.

  Задано: , ,

  Найти: и k

  Используем  формулу Бернулли и формулу вычисления последующего значения  через предыдущее значение :

   . Значение  вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности - по второй.

  В рекуррентном соотношении вычисляем постоянный множитель

   ,

  Результаты  вычислений запишем в табл.. Если вычисления верны, то должно выполнятся равенство  .

 
 
 
 
 

  По найденным значениям вероятностей построим их график

  

  Найдем  вероятнейшую частоту по заданным условиям:

  

  

  Значит, наивероятнейшая  частота  и, как и было получено ранее, значение является максимальным.

  Задача 1.6. В каждом из 600 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,50,. Найти вероятность того, что событие А происходит:

  а) точно  320 раз;

  б) точно  290 раз;

  в) меньше чем 350 и больше чем 290 раз;

  г) меньше 335 раз.

  При решении  этой задачи используем теоремы Муавра – Лапласа: локальную в случаях  а) и б) и интегральную для случаев  в) и г).

  а) Задано: , , ,

  Найти: .

  Имеем:  

   ;

  

   .

  б) Задано: , , ,

  Найти: .

  Имеем:  

   ;

  

  Значение  функции взято из таблицы значений локальной функции Лапласа

   .

  в) Задано: , , , ,

  Найти: .

  Находим:  

   ;

   ;

  Значение функции взято из таблицы значений интегральной функции Лапласа

   .

  г) Задано: , , , ,

  Найти: .

   ;

   ;

  Значение  функции взято из таблицы значений интегральной функции Лапласа