Теория вероятности

1)Теория вероятностей  – наука, изучающая закономерности. Опыт или испытание – всякое  осуществление определённого комплекса  условий или действий, при которых  наблюдается соответственное явление  или событие. Событие – достоверное  если оно обязательно произойдёт в данном опыте. Невозможное – если в данном опыте оно не может произойти. Случайное – которое в опыте может произойти, а может и не произойти. 2 события - совместные, если появление 1-го не исключает появления другого. Несовместные если не могут произойти при одном испытании. Вероятность события – отношение числа элементарных исходов благоприятствующих данному событию к числу всех равновозможных, образующих полную группу элементарных исходов опыта, в котором может появиться это событие. (равновозможные если нет оснований полагать что одно событие более возможно чем другое)

2)Вероятность  суммы 2-х несовместных событий  равна сумме вероятностей этих  событий. Р (А + В) = Р (А) + Р  (В). Вероятность произведения двух  событий равна произведению одного  из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло. Р (А * В) = Р (А) * Р (В/А) = Р (В) * Р (А/В). Вероятность произведения 2-х независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Р (А * В) = Р (А) * * Р (В).

3)Вероятность появления хотя бы одного события независимых в совокупности равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий (q = 1-p)

P (A) = 1 – q1 * q2 * … * qn. если вероятность одинакова то Р = 1 – q^n.

4)Формула полной  вероятности. Вероятность события А, которая может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий(Hi), образующих полную группу равна сумме произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события этой гипотезы. Р (А) = E(n, i=1) * P(Ai) * P (A/Hi). Формула Байеса. Пусть имеется полная группа несовместных гипотез Н1, Н2, … , Нn. Р гипотез известны и соответственно равны P(H1), P(H2), … , P(Hn). Произведён опыт в результате которого произошло некоторое событие А, но не известно при какой из гипотез оно имело место. Р(Hi/ A) = P(Hi)*P(A/Hi)/E(n, i=1)*P(Hi)*p(A/Hi).

5)Формула Бернулли. Если производится несколько  испытаний причём Р(А) в каждом  испытании не зависит от исходов  других испытаний, то такие  испытания называются независимыми относительно события А. Если производится n независимых испытаний в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то вероятность того, что событие А появиться ровно к раз выражается формулой:

Pk,n = Cn^k * p^k * q^n-k, где q = 1-р, Cn^k = N=n!/k!(n-k)!. Формула Пуассона. если при n независимых испытаний событие происходит с р близкой к 0, то при достаточно большом n для вычисления вероятности появление события А равно к раз применяют приближенную формулу Пуассона: Pn(K) = (np)^k / k! * e^-np.

6)Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая вероятность того что Х принимает значение <x: F(x) = P(X<x), F(X) – неубывающая функция. Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину, за исключением некоторых случаев.

7)Математическое  ожидание – сумма произведений  всех возможных значений х  на соответствующие вероятности.  М(х) – х1*р1 + х2*р2+xn*pn.Свойства: 1)М(С)=е

2)М(СХ)=С М  (Х), 3)М(х+у) = М(х) + М(у),4)М(х-у) = М(х) –  М(у),5)М(х*у)  = М(х)*М(у). Дисперсия –  математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины х от её М. D(x) = M(x^2) – M^2(x), D(c) = 0, D(cx) = c^2D(x), D (x+y) = D(x)+D(y).6(x) = корень из D(x)(среднее квадратическое отклонение).

12) ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения. В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия.

Математическое  ожидание случайной величины

Математическое  ожидание — число, вокруг которого сосредоточены значения случайной  величины. 

Математическая  статистика.

1)Совокупность  всех возможных объектов данного вида, над которыми производится наблюдение или совокупность всех возможных наблюдений проводимых в одинаковых условиях над некоторой случайной величиной называется генеральной совокупностью. Она может содержать конечное или бесконечное число элементов. Отобранные из ген. совокупности объекты назыв. выборочной совокупностью или выборкой. Повторной назыв. выборку при которой объект перед отбором след. возвр. в ген. совокупность, а бесповторная не возвращается. Если выборка правильно отражается отношением в ген. совокупности то она репрезентативная (представительная).

2)Полигоном частот  называют ломаную отрезки, которой соединяют точки хi и, ni по оси абсцисс xi, а ординат ni. Гистограммой называют ступенчатую фигуру состоящая из прямоугольников основаниями, которых служат отрезки длины Н, а высоты ni/n плотность высоты.