Теория вероятности

     2. Прибор состоит  из двух элементов,  работающих независимо. Вероятность выхода  из строя первого  элемента равно  0,2, вероятность выхода  из строя второго  элемента равна  0,3. Найти вероятность  того, что:

     а) оба элемента выйдут из строя;

     б) оба элемента будут  работать. 

     Решение.

     а) Введем обозначения событий:

     Искомое событие А={оба элемента выйдут из строя};

     В₁={вышел из строя первый элемент};

     В₂={вышел из строя второй элемент};

     По  условию задачи имеем, что Р(В₁)=0,2 и Р(В₂)=0,3.

     Интересующее  нас событие А можно представить в виде произведения двух независимых событий: , тогда вероятность искомого события равна .

     По  теореме умножения вероятностей независимых событий, получаем: .

     б) Введем обозначения событий:

     Искомое событие А={оба элемента будут работать};

     В₁={вышел из строя первый элемент};

     В₂={вышел из строя второй элемент};

     По  условию задачи имеем, что Р(В₁)=0,2 и Р(В₂)=0,3.

     Интересующее  нас событие А состоит в одновременном выполнении события противоположного событию В₁ и события противоположного  В₂: , тогда вероятность искомого события равна .

     Найдем  вероятности событий В₁ и В₂: ; .

     Так как события  и независимы, поэтому по теореме умножения вероятностей независимых событий имеем:

      . 

     3. В мае вероятность  дождливого дня  равна 0,2. Для некоторой  футбольной команды  вероятность выиграть  в ясный день  равна 0,7, но зато  в дождливый день  эта вероятность  равна лишь 0,4. Известно, что команда выиграла  матч. Какова вероятность  того, что в этот  день шел дождь? 

     Решение.

     Введем  полную группу гипотез:

     Н₁={в день игры шел дождь};

     Н₂={в день игры было ясно}.

     По  условию известны вероятности:

     Р(Н₁)=0,2, а значит  Р(Н₂)=1- Р(Н₁)=1-0,2=0,8.

     Введем  событие А={футбольная команда выиграла игру};

     По  условию известны вероятности: и .

     Найдем  вероятность события А по формуле полной вероятности:

     Тогда вероятность  того, что был дождливый день, если команда в этот день выиграла игру, найдем по формуле Байеса: . 

     4. Вероятность получения  удачного результата  при производстве  сложного химического  опыта равна 2/3. Найдите наивероятнейшее  число удачных  опытов, если общее  их количество  равно 7. Чему равна  соответствующая  вероятность? 

     Решение.

     Производится  опытов, каждый опыт имеет два исхода:

     А={удачный результат};

      ={неудачный результат}.

     Вероятность проведения удачного опыта  , значит вероятность неудачного опыта .

     Составим  неравенство  , где число - наивероятнейшее в независимых испытаниях, если вероятность наступления события А при этом наибольшая.

      ; 

      ;

      , значит  .

     Наивероятнейшее число удачных опытов равно 5.

     Поскольку количество испытаний невелико ( ), то для нахождения вероятности того, что событие А появится точно раз воспользуемся формулой Бернулли:

      , где  .

       

     5. Вероятность отказа  каждого прибора  при испытании  равна 0,2. Что вероятнее:  отказ четырех  приборов при испытании  20 или отказ шести  приборов при испытании  30, если приборы  испытываются независимо  друг от друга? 

     Решение.

     Имеем схему Бернулли.

     Вероятность того, что из приборов откажут, найдем по формуле Бернулли: _.

      - вероятность отказа при одном  испытании;

      ;

     Получаем  следующие вероятности:

     - отказ четырех приборов при  испытании 20 ( =20 – число испытаний; =4):

    _; 

     - отказ шести приборов при испытании  30 ( =30 – число испытаний; =6):

_{Вероятнее отказ  четырех приборов при 20 испытаниях, чем  отказ шести приборов при 30 испытаниях.} 

     6.Имеется  десять студенческих  групп, насчитывающих  соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10, и 11 студентов.  Составьте закон  распределения случайной  величины Х, равной  числу студентов  в наугад выбранной  группе. Найдите математическое  ожидание, дисперсию  и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. 

     Решение.

     Построим  закон распределения случайной  величины Х:

     Получается  следующий закон распределения:

     Вычислим  математическое ожидание по формуле:

     

     Получим

     

     Вычислим  дисперсию по формуле:

     

     Имеем

     

     Среднее квадратическое вычислим по формуле:

      .

     7. Случайная величина  Х задана функцией  распределения

     

     Найти плотность распределения  вероятностей, математическое ожидание и дисперсию  случайной величины. Вычислить вероятность  того, что случайная  величины Х примет значение в интервале (3; 4). 

     Решение.

     Найдем  плотность распределения:

     

     Найдем  математическое ожидание по формуле: .

     

     Найдем  дисперсию, используя формулу: .

     

     Вычислим  вероятность   

     8. Известны математическое  ожидание m и среднее квадратическое отклонение s нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α, β). Изобразить на графике функции плотности найденную вероятность.

     m = 2, s = 5, α = 4, β = 9. 

     Решение.

     Искомая вероятность вычисляется по формуле:

       где Ф(х) – функция Лапласа.

     Для заданных значений параметров

       по таблице значений функции  Лапласа находим  .

     Отсюда  искомая вероятность  .

     Для построения графика функции плотности  исследуем его.

     Нормальное  распределение определяется функцией плотности  , где а- математическое ожидание.

     1) Функция определена на всей  числовой оси. 

     2) При всех функция распределения  принимает только положительные  значения.

     3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента, значение функции стремится к нулю.

     4) Найдем экстремум функции:

      . Т.е. х = 2.

     Т.к. при имеем и при имеем , то в точке функция имеет максимум равный .

     5)Функция  является симметричной относительно  прямой х = 2, т.к. разность (х - а) входит в функцию плотности распределения в квадрате

     6) Для нахождения точек перегиба  графика найдем вторую производную  функции плотности.

     

     При х = т + s = 2 + 5 = 7  и х = т - s = 2 – 5 = -3, вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.

     В этих точка значение функции равно  .

     Построим  график функции плотности распределения:

     На  участке кривой, ограниченной ординатами -s и -s расположено 68,3% значений случайной величины;

     на  участке, ограниченном ординатами 2s - 95,4%;

     на  участке с ординатами s3 - 99,7%.

     Найденная вероятность 0,2638 будет располагаться  на участке кривой, ограниченной ординатами -3s и 3-s т.е. -15 и 15.