Теория вероятностей

Вариант1.

Задача1. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «КНИГА». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него  снова получится слово «книга».

Решение:

Т.к. в  данном слове пять букв и  все они различны, то всего из этих букв  можно получить N=5! различных слов. Т. е. всего возможное число ситуаций -  N=120. Благоприятных  же  ситуаций – М=1, т.к. из данных букв только одним способом можно составить слово «книга».

Значит, искомая вероятность того, что ребенок составит слово «книга» равна Р= М: N=1/120=0,008333. 

Задача2. Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по потребительским признакам. Вероятность того, что изделию первого вида  будет присвоен знак качества, равна 0,9;  для изделия второго вида эта вероятность равна 0,8; а для изделия третьего  вида эта вероятность равна 0,7. Найти  вероятность  того, что  знак качества будет присвоен: а) всем изделиям; б)  только одному изделию; в) хотя бы одному изделию.

Решение:  

Обозначим следующие  события:

А₁= «изделию первого вида  будет присвоен знак качества»Þ Р(А₁)=0,9Þ Р(` )=0,1,

А₂= «изделию второго вида  будет присвоен знак качества» Þ Р(А₂)=0,8 ÞР(` )=0,2,

А₃= «изделию третьего вида  будет присвоен знак качества» Þ Р(А₃)=0,7 ÞР(` )=0,3.

И  искомые  события:

В = «знак качества будет присвоен всем изделиям»;

С = «знак качества будет присвоен только одному изделию»;

Д = «знак качества будет присвоен хотя бы одному изделию».

а)   В = А₁ ×А₂ ×А₃ ,

Тогда, т. к. события  А₁ , А₂ , А₃  - совместны и независимы, Р(В) = Р(А₁ )×Р(А₂ )×Р(А₃) = 0, 9 × 0,8 × 0,7 = 0,504 – вероятность того, что знак качества будет присвоен всем изделиям.

б) С = + +

Тогда, т. к. события  А₁ , А₂ , А₃  - совместны и независимы, Р(С) = + 0,1 × 0,8 × 0,3 + 0,1 × 0,2 × 0,7 = = 0,092 – вероятность того, что знак качества будет присвоен только одному изделию.

в) Д = А₁ + А₂ + А₃     Þ =

Тогда, т. к. события  А₁ , А₂ , А₃  - совместны и независимы, Р( ) = = 0,1 × 0,2 × 0,3 = 0,006, значит Р(Д) = 1 -  Р( ) =1 – 0,006 = 0,994 - вероятность того, что знак качества будет присвоен хотя бы одному изделию. 

Задача 3. Три охотника одновременно и независимо стреляют  в кабана. Известно, что первый попадает  с вероятностью 0,8, второй – 0,4, а третий – 0,2. Кабан убит, и в нем обнаружены две пули. Как делить кабана?

Решение:

Найдем вероятность  того, что попал первый охотник,  вероятность того, что попал второй  охотник,  вероятность того, что  попал третий  охотник, и сравним  найденные вероятности.

Обозначим следующие  события:

А₁= «первый охотник попал в кабана» Þ Р(А₁) = 0,8 Þ Р(` ₁) = 0,2,

А₂= «второй охотник попал в кабана» Þ Р(А₂) = 0,4  Þ  Р(` ₂) = 0,6,

А₃= «третий охотник попал в кабана» Þ Р(А₃) = 0,2  Þ Р(` ₃) = 0,8.

В = «в кабана попало двое охотников из троих»;

В= + + Þ Р(В)= 0,8×0,4×0,8+0,8×0,6×0,2+ 0,2×0,2×0,4=0,368

А₁В= + Þ Р(А₁В)=0,8×0,4×0,8+0,8×0,6×0,2=0,352 Þ Р(А₁/В)= Р(А₁В)/Р(В)=0,9565

А₂В= + Þ Р(А₂В)= 0,8×0,4×0,8+0,2×0,2×0,4=0,272 Þ Р(А₂/В)= Р(А₂В)/Р(В)=0,7691

А₃В= + Þ Р(А₃В)= 0,2×0,4×0,2+0,8×0,6×0,2=0,112 Þ Р(А₃/В)= Р(А₃В)/Р(В)=0,3043

Тогда найденные  вероятности находятся в отношении  Р(А₁/В) : Р(А₂/В) : Р(А₃/В) = 0,9565 : 0,7691: 0,3043, т.е. Р(А₁/В) : Р(А₂/В) : Р(А₃/В) = 0,48 : 0,37 : 0,15.

Т. о.  первому  охотнику необходимо дать 0,48 доли веса кабана, второму – 0,37, а третьему – 0,15. 

Задача 4. Банк имеет шесть отделений. С вероятностью 0,2 независимо от других каждое отделение может заказать  на  завтра  крупную сумму денег. В конце рабочего дня один из вице-президентов банка знакомится с поступившими заявками. Какова вероятность того, что будет: а) ровно две заявки; б) хотя бы одна заявка.  Какова вероятность того, что есть заявка от первого отделения, если известно, что поступило две заявки?

Решение:

 р=0,2 Þ q=0,8, n=6

в данном случае имеет место распределение Бернулли, тогда

а) р=0,2, q=0,8,  n=6,  m=2,

тогда  Р₆(2) = · р² · q⁴=15· 0,2² · 0,8⁴ = 0,24576 – вероятность того, что поступит ровно две заявки;

б) р=0,2, q=0,8, n=6, m³1 Þ Р₆(m³1) = 1 - Р₆(0) = 1 - · р⁰ · q⁶=1 – 0,8⁶= 0,737856 - вероятность того, что поступит хотя бы одна заявка.

Т. к. заказы от каждого  отделения равновероятны, то при  поступлении двух заявок вероятность  того, что заявка выполнена определенным отделением из имеющихся шести, равна 0,2· 2 = 0,4. Т. о. вероятность того, что  есть заявка от первого отделения, если известно, что поступило две заявки, равна 0,4. 

Задача 5. Вероятность приема каждого из передаваемых сигналов  равна 0,75. Найдите вероятность того, что будет принято: а) ровно 70 сигналов; б) от 70 до 80 сигналов.

Решение:

 р=0,75 Þ q=0,25, n=100.

а)  так как  nрq=100 · 0,75 · 0,25=18,75>10, то используется формула Муавра-Лапласа:

х = (70 - 100 · 0,75)/ = -1,1547  Þ Р₁₀₀(70) » » 0,2309· 0,2048 » »0,04729 - вероятность того, что будет принято ровно 70 сигналов;

б) т.к n велико и  число слагаемых  70£m£80 также велико, то используем для вычисления вероятности интегрированную формулу Муавра-Лапласа:

х₁ = -1,1547,   х₂ = (80 - 100 · 0,75)/ =1,1547  Þ Р₁₀₀(70£m£80) » Ф(1,1547) -  Ф(-1,1547) =

=2Ф(1,1547)=2· 0,375 = 0,75 - вероятность того, что будет  принято от 70 до 80 сигналов. 
 
 

Задача6. Компания, производящая средства для потери веса, утверждает, что прием таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в среднем в неделю 400г веса. Случайным образом  отобраны 25 человек, использующих эту терапию, и обнаружено, что в среднем еженедельная потеря веса составила 430г со средним квадратичным отклонением 110г. Проверьте гипотезу о том, что средняя потеря в весе составляет 400г. Уровень значимости α=0,05.

Решение:

=430, σ=110, n=25

Проверяемая гипотеза:

Н₀: μ=400 при уровне значимости α=0,05, альтернативная гипотеза – Н₁: μ¹400.

Определим значение статистики Т=( - μ) : = (430-400): (110/5)=1,3636.

По таблице  определяем t _24;0,05=2,064, тогда т.к. Т< t _24;0,05, то гипотеза Н₀ подтверждается.

Значит, средняя  потеря в весе составляет 400г.