Теорема Ферма

СОДЕРЖАНИЕ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Архимеда  будут помнить, когда Эсхила забудут, потому что языки умирают, но не математические идеи. Возможно, бессмертие — глупое слово, но, по всей видимости, математик имеет наилучший шанс на бессмертие, что бы оно ни означало.

 

Г. Г. Харди

 

ВВЕДЕНИЕ.

 

Более 350 лет математики всего мира безуспешно ищут ответ  на вопрос: «Верна ли великая теорема  Ферма?». Наконец, убедившись в том, что теорема действительно верна, перед учеными встаёт другой, не менее важный вопрос: «Как доказать Великую теорему?» Весь мир охватывает непреодолимое желание найти решение этой задачи, но до 1993 года это никому не удается…

Что же такое Великая  теорема Ферма?

Почему столько лет, лучшие из лучших не могли доказать её?

Кто придумал такую теорему?

Кто же доказал теорему?

 

ПЬЕР ДЕ ФЕРМА. БИОГРАФИЯ.

                     

Пьер де Ферма       

           французский

          математик

 

                                            1601-1665гг.

 

 

Пьер де Ферма родился 20 августа 1601 года в городе Бомон-де-Ломань на юго-западе Франции. Его отец, Доминик Ферма, был состоятельным торговцем кожей, поэтому у Пьера была возможность получить престижное образование во французском монастыре Грансельва, а затем, учиться в университете Тулузы. Не сохранилось никаких документов, свидетельствующих о том, что Ферма проявлял блестящие способности к математике. Пьер имел склонность к предметам гуманитарного цикла. Он был признанным авторитетом в греческой филологии.

В колледже проявились способности  к изучению языков. Итальянским и латинским, греческим и испанским он владел настолько свободно, что писал на них стихи.Под давлением семьи Ферма поступил на гражданскую службу и в 1631 году был назначен советником парламента Тулузы (conseiller au Parlement de Toulouse)— заведующим отдела прошений. У него не было особых политических амбиций. Он делал все, чтобы по возможности оставаться в стороне от кипения парламентских страстей. Всё своё свободное время, Ферма отдавал математике.  
Несмотря на настойчивые просьбы знакомых и друзей, Ферма упорно отказывался публиковать свои доказательства. Публикация результатов и признание ничего не значили для него. Ферма получал удовлетворение от сознания того, что он без помех может создавать новые теоремы. Скромный и замкнутый гений иногда мог даже подразнить своих коллег-математиков: направляя им письма с формулировками последних теорем, умалчивал о доказательствах. Ферма бросал своим современникам вызов, испытывая их способность найти недостающее доказательство. 
То, что Ферма никогда не раскрывал своих доказательств, вызывало у его коллег чувство горького разочарования. Рене Декарт называл Ферма «хвастуном», а англичанин Джон Валлис называл его «проклятым французом». К несчастью для англичан, Ферма доставляло особое удовольствие разыгрывать своих коллег по ту сторону Ла-Манша. 
Не сохранилось никаких документальных свидетельств того, что у Ферма был учитель математики, который поощрял своего способного ученика. Наставником и учителем Ферма стала «Арифметика» Диофанта. В «Арифметике» собраны сотни задач, и каждую из них Диофант снабдил подробным решением. Ферма не перенял столь высокий уровень доступности. Его совсем не интересовало создание учебника для будущих поколений. Он хотел лишь одного — получить удовлетворение от решенной им задачи. Изучая задачи и решения Диофанта, Ф0ерма подумывал и о том, чтобы самому заняться решением аналогичных и более тонких задач. Ферма записывал для себя лишь самое необходимое для того, чтобы убедиться в правильности полученного решения, и не заботился о том, чтобы изложить остальную часть доказательства. Чаще всего сделанные им торопливые записи отправлялись  в мусорную корзину, после чего Ферма спокойно переходил к следующей задаче. К счастью для нас, опубликованный Баше латинский перевод «Арифметики» имел широкие поля, и иногда Ферма торопливо записывал на них ход своих рассуждений и свои комментарии. Эти заметки на полях стали бесценными, хотя и несколько отрывочными, документальными свидетельствами некоторых наиболее блестящих выкладок Ферма. 
На полях «Арифметики» Диофанта, рядом с задачей 8, Ферма оставил такое замечание: «Cubet autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere» (Невозможно для куба быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвертой степени быть записанной в виде суммы двух четвертых степеней, или, в общем, для любого числа, которое есть степень больше двух, быть записанной в виде суммы двух таких же степеней). 
Свое знаменитое открытие Ферма совершил в самом начале своей математической карьеры — около 1637 года. Кроме великой теоремы Ферма в теории чисел, французский математик добился замечательных результатов в аналитической геометрии, в анализе при нахождении максимумов и минимумов, в неопределённых уравнениях. Замечательные результаты получил он и в теории вероятностей. Замечательная работа ученого в геометрической оптике, где есть «принцип Ферма», или «принцип наименьшего действия». 
Пьер де Ферма умер во время одной из служебных поездок 12 января 1665 года.

 Открытиям Ферма,  грозило полное забвение. К счастью,  старший сын Ферма, Клеман-Самюэль,  сознававший все значение любимого  увлечения отца, пришел к заключению, что его открытия не должны  быть потеряны для всего мира. Всем, что мы знаем о замечательных открытиях Ферма в теории чисел, мы обязаны его сыну, и если бы не Клеман-Самюэль, загадка, известная под названием Великой теоремы Ферма, умерла бы вместе со своим создателем. 
Пять лет Клеман-Самюэль собирал отцовские заметки и письма, изучал неразборчивые надписи на полях «Арифметики». Заметка на полях с формулировкой Великой теоремы Ферма была лишь одной из вдохновенных мыслей, начертанных на полях этой книги. Клеман-Самюэль опубликовал все эти заметки в специальном издании «Арифметики». В 1670 году он издал в Тулузе книгу под названием «Диофантова Арифметика, содержащая примечания П. де Ферма». В нее наряду с оригинальным текстом на древнегреческом языке и латинском переводом Баше вошли 48 примечаний, сделанных Ферма. Одно из примечаний и было тем, которое стало впоследствии известно под названием Великой теоремы Ферма.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИСТОРИЯ ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА.

Французский юрист и  по совместительству великий математик XVII века Пьер Ферма (1601-1665) выдвинул одно любопытное утверждение из области теории чисел, которое впоследствии получило название Великой (или Большой) теоремы Ферма. Это одна из самых известных и феноменальных математических теорем. Наверно, ажиотаж вокруг нее был бы не так силен, если бы в книге Диофанта Александрийского (III век) "Арифметика", которую Ферма частенько штудировал, делая пометки на ее широких полях, и которую любезно сохранил для потомков его сын Сэмюэл, не была обнаружена примерно следующая запись великого математика: 
"Я располагаю весьма поразительным доказательством, но оно слишком велико, чтобы его можно было разместить на полях". 
Она-то, эта запись, и явилась причиной последующей грандиозной суматохи вокруг теоремы. 
Итак, знаменитый ученый заявил, что доказал свою теорему. Давайте же зададимся вопросом: действительно ли он ее доказал или банально соврал? Или есть другие версии, объясняющие появление той записи на полях, не дававшей спокойно спать многим математикам следующих поколений? 
История Великой теоремы увлекательна. В 1636 году Ферма заявил, что уравнение вида Хⁿ+Yⁿ=Zⁿ не имеет решений в целых числах при показателе степени n>2. Это и есть Большая теорема Ферма. В этой, казалось бы, простой с виду математической формуле Вселенная замаскировала невероятную сложность. 

 

 

ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА ДЛЯ n=2.

Частным случаем теоремы  Ферма для n=2 является одна из великих теорем – теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство: Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом А. АВ=b, BC=c, AC=a. Достроим треугольник до большого квадрата.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

 

 

 

 

 

ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА ДЛЯ n=3.

ПРОРЫВ ЭЙЛЕРА.

Леонард Эйлер родился  в Базеле в 1705 году в семье кальвинистского пастора Пауля Эйлера. Хотя юный Эйлер проявил недюжинный математический талант, его отец решил, что сын должен изучать теологию, и готовил ему церковную карьеру. Леонард повиновался отцовской воле и стал изучать теологию и древнееврейский язык в Базельском университете.

Впервые столкнувшись с  Великой теоремой Ферма, Эйлер, понадеялся на то, что ему удастся найти  доказательство, если он будет придерживаться такой стратегии: найти решения  для какого-нибудь частного случая, а затем обобщить это решение, распространив его на все остальные. Напомним, что теорема Ферма утверждает следующее: уравнение

xⁿ + yⁿ = zⁿ, где n — любое целое число большее 2,

не допускает решения  в целых числах.

Это уравнение в действительности представляет собой бесконечную  систему уравнений

x³ + y³ = z³,    x⁴ + y⁴ = z⁴,     x⁵ + y⁵ = z⁵,      x⁶ + y⁶ = z⁶,         x⁷ + y⁷ = z⁷, ……………….

Эйлер попытался выяснить, нельзя ли доказать, что одно из уравнений  не допускает решений в целых  числах, а затем экстраполировать полученный результат на все остальные уравнения (точно так же, как он доказал свою формулу для всех графов).

Первый шаг к осуществлению  задуманного Эйлер совершил, когда  обнаружил ключ к доказательству в кратких записях на полях  «Арифметики» Диофанта. Хотя 
Ферма не оставил развернутого доказательства Великой теоремы, он в другом месте того же экземпляра «Арифметики» написал в зашифрованном виде доказательство для случая n=4, включив его в решение совершенно другой задачи. Это были самые подробные вычисления, которые Ферма когда-либо доверил бумаге, но всё же детали всё ещё были обрывочны и расплывчаты, а в заключение доказательства Ферма ссылается на то, что недостаток времени и места не позволяют ему дать более полное объяснение. Несмотря на отсутствие многих важных деталей в беглых заметках Ферма, в них отчетливо просматривался один из способов доказательства от противного, известный под названием метода бесконечного спуска.

Чтобы доказать, что уравнение x⁴ + y⁴ = z⁴ не допускает решения в целых числах, Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения в целых числах

x = X¹, y = Y¹, z = Z¹.

При изучении свойств  чисел (X¹, Y¹, Z¹) Ферма показал, что если бы такое гипотетическое решение действительно существовало, то существовало бы меньшее решение (X², Y², Z²). Рассматривая это новое решение, Ферма смог показать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее решение (X³, Y³, Z³) и т.д.

Эйлер попытался воспользоваться  методом бесконечного спуска в качестве исходного пункта при построении общего доказательства для всех других степеней в уравнении Ферма. Он хотел получить доказательство для всех n вплоть до бесконечности, но прежде всего он хотел «опуститься на одну ступень» и получить доказательство при n=3. В письме к прусскому математику 
Христиану Гольдбаху в августе 1753 года Эйлер сообщил, что ему удалось приспособить метод бесконечного спуска и успешно доказать Великую теорему 
Ферма для случая n=3. Так через сто лет после смерти Ферма впервые удалось сделать первый шаг на пути к решению его проблемы.

И до Эйлера некоторые  математики уже пытались приспособить метод бесконечного спуска Ферма  для решения уравнения Ферма  в целых числах при n, отличных от 4, но всякий раз попытка распространить метод приводила к каким- нибудь проблемам в логике. И только Эйлер показал, что, используя число i, можно заткнуть все дыры в доказательстве и заставить метод бесконечного спуска работать при n=3.

Это было грандиозное  достижение, но повторить успех при  других значениях n Эйлеру не удалось. К сожалению, все попытки применить те же рассуждения к другим значениям вплоть до бесконечности закончились провалом. И математик, решивший больше задач, чем кто-либо другой за всю историю, был вынужден признать поражение — Великая теорема Ферма оставалась неприступной. 
Единственным утешением для Эйлера было то, что он осуществил первый серьезный прорыв в «круговой обороне» труднейшей математической проблемы в мире.

Теорему Ферма для n=3 Эйлер доказал в 1768г. Для этого потребовалось совершенно новая идея. И состояла она в том, чтобы при исследовании вопросов об обычных целых числах применять мнимые выражения вида a, b – целые числа, а n 0. Эйлер так писал об этом Ж.Л. Лагранжу: «Я был восхищен Вашим методом применения иррациональных и даже мнимых чисел в той части анализа, которая относится к одним только рациональным числам. Вот уже несколько лет, как у меня появились сходные идеи…опубликовав здесь (в России) полную алгебру на русском языке, я подробно изложил в ней этот способ и я показал, что для решения уравнения x²+ny²=(p²+nq²) достаточно решить следующее уравнение: ».

В своем доказательстве Эйлер рассмотрел выражения вида . И тут он сделал ещё один шаг чрезвычайной важности: перенёс на эти выражения свойства целых чисел. Что это значит? Для обычных целых чисел существует богатая арифметика: их можно не только складывать, вычитать и умножать, среди них можно выделить единицу, простые числа, взаимно простые. Наконец, справедливая фундаментальная теорема об однозначности разложения любого числа в произведение простых множителей. Полагали, что данные свойства присущи только числам натурально ряда 1,2,3,….и что понятие «целое число» не допускает никакого обобщения. Эйлер предположил, что числа вида обладают такими же свойствами: среди них тоже есть простые, для них справедлив закон однозначности разложения на простые множители. Исходя из этого он доказал великую теорему для n=3. Однако обосновывать свои предположения Эйлер не стал. Эти вопросы вновь встали перед математиками в 19в. – и опять в связи с доказательством теоремы Ферма.

 

 

 

 

 

ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА ДЛЯ n=4.

 

Ферма дал безупречное  доказательство своей теоремы для n=4, но доказательство Эйлера яснее и короче.

Пусть мы нашли тройку чисел x,y,z, для которых Воспользуемся формулами для пифагоровых троек. Получим: Можно считать, что числа x и y, а значит, и числа p и q взаимно простые. Тогда, поскольку четно, х² должно быть нечетным. Но х²=p²-q², следовательно p и q – числа разной четности, причем p должно быть нечетным, а q – четным. Действительно, квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного при делении на 4 дает остаток 1 (т.к (2l+1)²=4l²+4l+1). Поэтому если бы p было четным числом, а q нечетным, то разность p²-q² имело бы вид 4k-1, т.е. не могла бы быть квадратом (ведь квадраты при делении на 4 дают в остатке только 0 или 1). Мы вновь получили «пифагорово» уравнение: x²+q²=p² – и с учетом того, что q четно, можем записать его решение в виде

X= r²-s², q=2rs, p=r²+s². Поскольку x и q взаимно просты (иначе x и y²=2pq имели бы общий множитель), числа r и s также взаимно просты. При этом rs (r²+s²)=pq/2=y²/4 – квадрат, следовательно, оба этих числа и число r²+s² должны быть квадратами: r=a², s= .

Найдена новая тройка чисел - , удовлетворяющая тому же уравнению . Её наибольшее число меньше z: .

Тем самым мы осуществили  спуск и вслед за Ферма и  Эйлером можем заключить, что  теорема доказана.

Несколько странным является то, что почему-то теорема опоздала с появлением на свет, поскольку ситуация назрела давно, ведь ее частный случай при n=2 - другая знаменитая математическая формула - теорема Пифагора, возникла на двадцать два столетия раньше. В отличие от теоремы Ферма, теорема Пифагора имеет бесконечное множество целочисленных решений, например, такие пифагоровы треугольники: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …