Сущность теории игр

 

Получаем игру без седловой точки, так как

 

 (2.1)

 (2.2)

 

Максиминная стратегия руководителя вычислительного центра - А₂.

Для этой стратегии гарантированный выигрыш равен a = 0,4 (40%) по сравнению со старой системой.

Определим g, p_l и р₂ графическим способом (рис. 2.1).

 

Рис. 2.1. Графическая интерпретация алгоритма решения

 

Алгоритм решения:

1. По оси абсцисс отложим отрезок единичной длины.

2. По оси ординат отложим выигрыши при стратегии А₁.

3. На вертикали в точке 1 отложим выигрыши при стратегии А₂.

4. Проводим прямую b₁₁b₁₂, соединяющую точки а₁₁, а₂₁.

5. Проводим прямую b₂₁b₂₂, соединяющую точки а₁₂, а₂₂.

6. Определяем ординату точки пересечения с линий b₁₁b₁₂ и b₂₁b₂₂. Она равна g.

7. Определим абсциссу точки пересечения с. Она равна р₂, а р₁ = l - р_2.

Выпишем решение и представим оптимальную стратегию игры:

 

р₁ = 0,375; (2.3)

р₂ = 0,625; (2.4)

g =0,55. (2.5)

 

Вывод. При установке новой системы ЭВМ, если неизвестны условия решения задач заказчика, на работу ЭВМ А₁ должно приходиться 37,5% времени, а на работу ЭВМ А₂ - 62,5%. При этом выигрыш составит 55% по сравнению с предыдущей системой ЭВМ.

 

3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ИГР С ПРИРОДОЙ

 

3.1 Постановка задачи

 

Рассмотрим игры с природой на примере следующей задачи. Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что не известно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной. Очевидно, что у природы нет злого умысла и она ничего против человека «не имеет». С другой стороны, долгосрочные прогнозы, составляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому могут использоваться в практической деятельности только как ориентировочные при принятии решений.

Имеются следующие данные о количестве и ценах угля, необходимого зимой для отопления дома (табл. 3.1). Вероятности зим: мягкой - 0,35; обычной - 0,5; холодной - 0,15.

 

Зима	Количество угля, т	Средняя цена за 1 т, грн.
Мягкая	4	7
Обычная	5	7,5
Холодная	6	8

 

Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6 грн. за 1 т. Есть место для хранения запаса угля до 6 т, заготавливаемого летом. Если потребуется зимой докупить недостающее количество угля, докупка будет по зимним ценам. Предполагается, что весь уголь, который сохранится до конца зимы, в лето пропадет. (Предположение делается для упрощения постановки и решения задачи.)

Сколько угля летом покупать на зиму?

 

3.2 Решение задач игр с природой

 

Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (человек) являются различные показатели количества тонн угля, которые ему, возможно, следует купить. Состояниями природы выступают вероятности видов зимы.

Вычислим, например, показатель для холодной зимы. Игрок 1 приобрел уголь для обычной зимы 5 т по цене 6 грн. за 1 т. Для обогрева он должен закупить еще 1 тонну по цене 8 грн за 1т.

Следовательно, расчет платы за уголь будет 5 Ч 6 - при заготовке, и зимой 8 Ч 1. Аналогично производятся расчеты при других сочетаниях.

В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой платежную матрицу (табл. 3.2).

 

Таблица 3.2.

Вероятность Зима	0,35	0,5	0,15
	Мягкая	Обычная	Холодная
Мягкая (4т)	-(4 Ч 6)	-(4 Ч 6 + 1 Ч 7,5)	-(4 Ч 6 + 2 Ч 8)
Обычная (5 т)	-(5 Ч 6)	-(5 Ч 6 + 0 Ч 7,5)	-(5 Ч 6 + 1 Ч 8)
Холодная (6 т)	-(6 Ч 6)	-(6 Ч 6 + 0 Ч 7,5)	-(6 Ч 6 + 0 Ч 8)

 

Произведем расчет ожидаемой средней платы за уголь (табл. 3.3).

 

Таблица 3.3

Зима	Средняя ожидаемая плата
Мягкая	-(24 Ч 0,35 + 31,5 Ч 0,5 + 40 Ч 0,15) = -30,15
Обычная	-(30 Ч 0,35 + 30 Ч 0,5 + 38 Ч 0,15) = -31,2
Холодная	-(36 Ч 0,35 + 36 Ч 0,5 + 36 Ч 0,15) = - 36

 

 

Как видно из табл. 3.3, наименьшая ожидаемая средняя плата приходится на случай мягкой зимы (30,15 грн.). Соответственно если не учитывать степени риска, то представляется целесообразным летом закупить 4 т угля, а зимой, если потребуется, докупить уголь по более высоким зимним ценам.

Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднеквадратичного отклонения как индекса риска. Мы можем уточнить принятое на основе максимума прибыли или минимума издержек решение. Дополнительные рекомендации могут оказаться неоднозначными, зависящими от склонности к риску ЛПР.

Формулы теории вероятности:

Дисперсия случайной величины ξ равна

 

 

 

Среднеквадратичное отклонение составит

где D и М - соответственно символы дисперсии и математического ожидания.

Проводя соответственно вычисления для всех случаев по такому принципу:

Мягкая зима:

 

М(ξ²) = - (24² Ч 0,35 + 31,5² Ч 0,5 + 40² Ч 0,15) = - 937,725

(Мξ)² = -(30,15² ) = - 909,0225

Dξ =937,725- 909,0225 = 28,7025

sx = 5,357

 

Если продолжить исследование процесса принятия решения и вычислить среднеквадратичные отклонения платы за уголь для мягкой, обычной и холодной зимы, то соответственно получим:

* для мягкой зимы sx = 5,357;

* для обычной зимы sx = 2,856;

* для холодной зимы sx = 0.

Минимальный риск, естественно, будет для холодной зимы, однако при этом ожидаемая средняя плата за уголь оказывается максимальной - 36 ф. ст.

Вывод. Мы склоняемся к варианту покупки угля для обычной зимы, так как ожидаемая средняя плата за уголь по сравнению с вариантом для мягкой зимы возрастает на 3,5%, а степень риска при этом оказывается почти в 2 раза меньшей (sx = 2,856 против 5,357).

Отношение среднеквадратичного отклонения к математическому ожиданию, вариабельность (средний риск на затрачиваемый 1 ф. ст.) для обычной зимы составляет 2,856/31,2 = 0,0915 против аналогичного показателя для мягкой зимы, равного 5,357/30,15 = 0,1777, т.е. вновь различие почти в 2 раза.

Эти соотношения и позволяют рекомендовать покупку угля, ориентируясь не на мягкую, а на обычную зиму.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В заключение данной работы можно сделать вывод о необходимости использования теории игр в современных экономических условиях.

В условиях альтернативы (выбора) очень часто нелегко принять решение и выбрать ту или иную стратегию. Исследование операций позволяет с помощью использования соответствующих математических методов принять обоснованное решение о целесообразности той или иной стратегии. Теория игр, имеющая в запасе арсенал методов решения матричных игр, позволяет эффективно решать указанные задачи несколькими методами и из их множества выбрать наиболее эффективные, а также упрощать исходные матрицы игр.

В данной работе были проиллюстрированы практическое применение двух основных стратегий теории игр и сделаны соответствующие выводы.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Тернер Д. Вероятность, статистика, исследование операций: Пер. с англ. - М.: Высш.шк., 1971.
2. Мак Киси Дж. Введение в теорию игр: Пер. с англ. - М.: Физматгиз, 1960.
3. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение: Пер. с англ. - М.: Наука, 1970.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. - М.: ДИС, 1997.
5. Дубров А.М. Математико-статистическая оценка эффективности в экономических задачах. - М.: Финансы и статистика, 1982.
6. Дубров А.М. Последовательный анализ в статистической обработке информации. - М.: Статистика, 1976.
7. Вальд А. Последовательный анализ: Пер. с англ. - М.: Физматгиз, 1960.
8. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пособие /А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев, Т.П. Барановская; Под ред. Б.А. Лагоши. - 2-е изд., пере раб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2001.