Становление и развитие математического моделирования

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Дробная часть = max(1/3; 2/3) = 2/3 =>дополнительное ограничение записываем по второй строке.

2/3 = 1/3х₄ + 2/3S₄ - S₅  ,S₅і  0   -     пятое ограничение Гомори.

Вектор, вводимый в базис: вводим х₄.

  => соответствует строке Гомори.

 

 

C8	Б8	Х8	8	6	-	-	-	-
			x1	x2	x3	x4	S4	S5
6  8  -  -	x2  x1  x3  x4	2  3  3  2	-  1  -  -	1  -  -  -	-  -  1  -	-  -  -  1	2  -1  -8  2	-1  1  3  -3
zj  j		36	8	6	-	-	4	2
			-	-	-	-	4	2

 
 
 
 
 
 
 
План Х₈ = (3; 2; 3; 2) - оптимальный целочисленный. L_max = 36.

Экономическая интерпретация: согласно полученному решению предприятию необходимо закупить 3 машины типа "А" и 2 машины типа "В". При этом будет достигнута максимальная производительность работы оборудования, равная 36 т продукции за смену. Полученную экономию денежных средств в размере 3 ден.ед. можно будет направить на какие-либо иные цели, например, на премирование рабочих, которые будут заниматься отладкой полученного оборудования. На излишнюю площадь в 2 м² можно поставить ящик с цветами.

Геометрическая интерпретация метода Гомори: строим множество планов. В точке 1 - оптимальный нецелочисленный план.

Первое  ограничение Гомори:    2/9x₃ + 8/9x₄ - S₁ = 4/9,  S₁ ≥ 0 
Из первого ограничения задачи:    х₃ = 19 - 2х₁ - 5х₂ 
Из второго ограничения задачи:    х₄ = 16 - 4х₁ - х₂ . Подставляем х₃ и х₄ в первое ограничение Гомори и после преобразований получаем: 4х₁ + 2х₂ + S₁ = 18, S₁ ≥ 0. Отсюда имеем:    4х₁ + 2х₂ ≤18. Это ограничение отсекает от множества планов область, содержащую точку 1. Новый оптимальный нецелочисленный план - точка 2.

Второе  ограничение Гомори :    1/4x₃ + 7/8S₁ - S₂ = 1/2,  S₂ ≥ 0 
Из первого ограничения задачи:    х₃ = 19 - 2х₁ - 5х₂ 
Из первого ограничения Гомори:    S₁ = 18 - 4х₁ - 2х₂

Получаем:    4х₁ + 3х₂ + S₂ = 20, S₂ ≥ 0 или 4х₁ + 3х₂ ≤ 20. Это ограничение отсекает от множества планов область, содержащую точку 2. Новый оптимальный нецелочисленный план - точка 3.

Третье  ограничение Гомори :    2/7x₃ + 6/7S2 - S₃ = 4/7, S₃ ≥ 0 
Из первого ограничения задачи:    х₃ = 19 - 2х₁ - 5х₂ 
Из второго ограничения Гомори:    S₂ = 20 - 4х₁ - 3х₂

После подстановки x₃ и S₂ в третье ограничение Гомори получаем: 4х₁ + 4х₂ ≤ 22. Это ограничение отсекает от множества планов область, содержащую точку 3. Новый оптимальный нецелочисленный план - точка 4.

Четвертое ограничение Гомори :    1/4S₃ - S₄ = 1/2, S₄ ≥ 0 
Из третьего ограничения Гомори:    S₃ = 22 - 4х₁ - 4х₂

Получаем:    х₁ + х₂ + S₄ = 5, S₄ ≥ 0. Отсюда имеем: х₁ + х₂ ≤ 5. Это ограничение отсекает от множества планов область, содержащую точку 4. Новый оптимальный нецелочисленный план - точка 5.

Пятое ограничение  Гомори :    1/3x₄ + 2/3S₄ - S₅ = 2/3, S₅ ≥ 0 
Из второго ограничения задачи:    х₄ = 16 - 4х₁ - х₂ 
Из четвертого ограничения Гомори:    S₄ = 5 - х₁ - х₂

Получаем:    2х₁ + х₂ + S₅ = 8, S₅ ≥ 0. Отсюда: 2х₁ + х₂ ≤ 8. Это ограничение отсекает от множества планов область, содержащую точку 5. Оптимальный целочисленный план - точка 6 с координатами (3;2).

Заштрихованная часть - целочисленное множество планов.

 

Заключение:

Разработка математических методов и моделей оптимизации  отдельных производственно-экономических  процессов, общественного производства в целом, оказалось тесно связанной  с конкретными проблемами экономической  теории: теорией стоимости, ценообразования. Во всей полноте вновь встала проблема измерения затрат и результатов  производства, эффективности капиталовложений и путей рационального использования  ресурсов производства. Возникла необходимость  выявления сущности предельных величин, их роли в экономическом анализе, в процессах ценообразования  и определения эффективности  затрат.

Применение математических методов и моделей в экономике  поставило перед экономической  наукой ряд важных методологических проблем, связанных с выяснением закономерностей оптимизации общественного  производства и его отдельных  процессов, вызвало необходимость  анализа и обобщения теоретических  основ математического моделирования  народнохозяйственных процессов.

Анализируя проделанную  работу, я сделала вывод о том  что математическое моделирование  развивалось с самого начала зарождения цивилизации, математическое моделирование  неразрывно связано  со многими науками, особенно с экономикой. Эту связь можно хорошо проследить в практической части моей курсовой работы. Метод Гомори очень точно показал, что можно составить оптимальный план приобретения оборудования, обеспечивающий максимальную общую производительность и прибыль.

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1. Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики. – М.: Экономика, 1988.
2. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. – М.: Наука, 1984.
3. Кантарович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. – М.: Наука, 1979.
4. http://first.boom.ru/Products/Theory/primerinteger.htm
5. http://vtit.kuzstu.ru/books/shelf/65/doc/glava_3.html
6. Абланская Л.В. Экономико-математическое моделирование. – М.: Учебник для ВУЗов,2006.
7. Хазанова Л.Э. Математические методы в экономике. – М.: Учебное пособие,2002.