Сложные проценты

Введение

       Проценты— удобная относительная мера, позволяющая оперировать с числами в привычном для человека формате не зависимо от размера самих чисел. Это своего рода масштаб, к которому можно привести любое число. Один процент— это одна сотая доля. Само слово процент происходит от латинского «pro centum», что означает «сотая доля».
      Сложные   проценты,  реинвестирование  или  капитализация  —   это очень важные явления в банковских финансах. В долгосрочном периоде, депозит со сложным начислением процентов может показать невиданное ускорение роста капитала, при этом сохраняя риск потерь на относительно низком уровне. Сложные проценты могут превратить ваш сравнительно небольшой вклад в машину, которая зарабатывает вам приличный капитал.

       Идея сложных процентов очень проста. В них, в отличие от простых процентов, существует период времени, по истечении которого проценты начисляются не только на имеющуюся в начале этого периода сумму, но и на накопившиеся к его концу проценты. Конечно, интервал этот может быть разным по длине, например, месяц или год. Но если уж он выбран, то является циклическим, т.е. на некотором промежутке ось времени разбивается этими периодами, а равные части, как линейка на сантиметры. В то же время так же, как и простые проценты, сложные не могут не существовать!

Но если без простых процентов нельзя обойтись из-за соображений удобства в обращении или, скажем, ощущения справедливости линейной зависимости вознаграждения от суммы кредита и времени, то в случае сложных процентов основную роль играет наличие свободной конкуренции.

С экономической точки зрения метод сложных процентов является более обоснованным, так как он выражает возможность непрерывного реинвестирования (повторного вложения) денежных средств.

1. Сложные проценты

1.1. Начисление сложных годовых процентов

          Если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты. Присоединение начисленных процентов к сумме базы начисления называют капитализацией процентов.

         Применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам. В конце первого года проценты равны величине Рi, а наращенная сумма составит Р + Рi = Р(1 + i).

         К концу второго года она достигнет величины

Р(1 + i) + Р(1 + i)i = Р(1 +i)2 и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна

                                                                      S = Р(1 + i) n                                                     (1.1)

       Проценты за этот срок:

I =S – P = Р[(1 + i) n – 1]

       Величину (1 + i)n  называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов.                                                                                  

       Время   при   наращении   по   сложной   ставке   обычно   измеряется   как АСТ/АСТ.
Если в контракте ставка процентов изменяется, то применяют формулу:

S=  P ( 1+ i 1)n1  (1 + i2)n2 … (1+ik )nk ,

          Где i1, i 2, … i k — последовательные значения ставок; n1,n2,…,nk – периоды для соответствующих ставок.

      Часто для начисления процентов срок не является целым числом.

       Применяют три метода начисления процентов.

1Наращенная сумма находится по формуле:     

S= P ( 1+ i 1)na   (1 + i2)nb,

Где na  - целая часть периода начисления, nb - – дробная часть периода начисления.

1.      Предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:
S = P( 1+ i 1)na   (1+ nb i)

       2. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления.

Дробная часть периода отбрасывается:

                                                       S=  P ( 1+ i 1)na  

         Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. При одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока. При n > 1 с увеличением срока различие в простых и сложных процентов увеличивается. Соотношение множителей наращения представлено на рис. 3.

Рис. 3. Соотношение множителей наращения по простым и сложным процентам

1.2 Формулы удвоения

На основе формул для простых и сложных процентов
                                               S= P + I= P + Pni = P( 1+ni),

S= P (1+ i)n

получим следующие формулы удвоения:
- удвоение по простым  процентам:
                                                        2= 1 + ni -> n = 1/I ,

- удвоение по сложным  процентам:
                                           n= ln 2/ ln (1+ i)= o,69315 /ln (1+ i).

В общем случае для увеличения первоначальной суммы в N раз:

- по простым  процентам:
                                                                        N= 1+ ni -> n = N-1/ I ,

- удвоение по сложным  процентам:
                                                 N= (1+i)n -> ln N / ln (1+i) .

       При работе со сложными процентами применяют правило 72: если процентная ставка есть i, то удвоение капитала происходит примерно за 72/ i лет.
        Например, при ставке в 12% удвоение капитала происходит через 6 лет.

1.3. Наращение процентов m раз в году.  Номинальная и эффективная ставки

          В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году — по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов.Пусть годовая ставка равна  j, число периодов начисления в году —  m. Каждый раз проценты начисляются по ставке  j/m. Ставку  j  называют  номинальной. Формула наращения:
                                                      S = P(1+ J/m)mn ,                                             (1.2)

          Где N= nm — общее количество периодов начисления.
         Действительная, или  эффективная  ставка процента  — это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m - разовое начисление процентов по ставке j/m. Она измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год.

         Обозначим эффективную ставку через i. Множители наращения, рассчитанные по эффективной и номинальной ставкам, должны быть равны друг другу:
                                                       (1 + i)n  = (1 + j/m)mn .

Отсюда

I = ( 1 + j/m)m – 1.

Эффективная ставка при m > 1 больше номинальной.
Определение номинальной ставки j по заданным значениям i и m:

1.4.  Дисконтирование по сложной ставке

      Определим первоначальную сумму по наращенной через математическое дисконтирование:
                                                       P = S / (1+ I ) n

и когда проценты начисляются m раз в году:
                                                    P = S / (1 + J/m) mn

      При банковском учете применяют сложную учетную ставку. В этих случаях процесс дисконтирования происходит с замедлением, так как каждый раз учетная ставка применяется не к первоначальной сумме, а к сумме, дисконтированной на предыдущем шаге во времени. Дисконтирование по сложной учетной ставке выгоднее для должника, чем по простой учетной ставке:

P = S ( 1 – d)n ,

где d — сложная годовая учетная ставка.

1.5. Номинальная и эффективная учетные ставки

        Дисконтирование может производиться не один, а m раз в году, т.е. каждый раз учет производится по ставке f/m. В этом случае
                                                       P = S ( 1 – f/ m ) mn ,

где f — номинальная учетная ставка.
         Эффективная учетная ставка (d) характеризует степень дисконтирования за год. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей:

( 1 – d) n = (1 – f / m )mn ,

Откуда

d = 1 – (1 – f / m)m .

         Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда m > 1, меньше номинальной.

2.      Инфляция

2.1 Понятие инфляции

        Инфляция как явление экономическое существует уже длительное время. Считается, что она появилась чуть ли не с возникновения денег, с функционированием которых неразрывно связана.

       Термин инфляция (от латинскою inflatio – вздутие) впервые стал употребляться в Северной Америке в период гражданской войны 1861–1865 гг. и обозначал процесс разбухания бумажно-денежного обращения. В XIX в. этот термин употребляется также в Англии и Франции. Широкое распространение в экономической литературе понятие инфляция получило в XX в. после первой мировой войны, а в советской экономической литературе – с середины 20-х годов.

       Наиболее общее, традиционное определение инфляции – переполнение каналов обращения денежной массой сверх потребностей товарооборота, что вызывает обесценение денежной единицы и соответственно рост товарных цен.

      Однако такое определение инфляции нельзя считать полным. Инфляция, хотя она и проявляется в росте товарных цен, не может быть сведена лишь к чисто денежному феномену. Это сложное социально-экономическое явление, порождаемое диспропорциями воспроизводства в различных сферах рыночного хозяйства. Инфляция представляет собой одну из наиболее острых проблем современного развития экономики во многих странах мира.

       Независимо от состояния денежной сферы товарные цены могут возрасти вследствие изменений в динамике производительности труда, циклических и сезонных колебаний, структурных сдвигов в системе воспроизводства, монополизации рынка, государственного регулирования экономики, введения новых ставок налогов, девальвации и ревальвации денежной единицы, изменения конъюнктуры рынка, воздействия внешнеэкономических связей, стихийных бедствий и т.п. Следовательно, рост цен вызывается различными причинами. Но не всякий рост цен - инфляция, и среди названных выше причин роста цен важно выделить действительно инфляционные.

        Прежде всего нужно отметить, что рост цен может быть связан с превышением спроса над предложением товаров. Однако такой рост цен, связанный с диспропорцией между спросом и предложением на каком-то отдельном товарном рынке – это ещё не инфляция. Инфляция – это повышение общего уровня цен в стране, которое возникает в связи с длительным неравновесием на большинстве рынков в пользу спроса. Другими словами, инфляция – это дисбаланс между совокупным спросом и совокупным предложением.

       Инфляция проявляется, прежде всего, в обесценении денег по отношению к золоту, товарам и иностранным валютам. В результате уменьшается золотое содержание национальной денежной единицы, поэтому цена золота растет.

       С инфляцией сталкиваются практически все страны, причем последние годы характеризуются повышением ее темпов. Можно сказать, что мир стал более инфляционным.

         Отдельные стороны инфляции описывают такие понятия, как “дезинфляция”, “дефляция”, “стагфляция”. Дезинфляция означает замедление темпов инфляции. Дефляцией называется долговременное снижение уровня цен. Термин “стагфляция” является производным от стагнации и инфляции и означает высокую инфляцию при медленном или нулевом росте реального объема производства. Часто этот термин употребляется для характеристики инфляции при одновременном спаде объема производства.

2.2 Причины инфляции

         Есть множество причин инфляции, однако, в каждой стране складываются свои социально-экономические условия ее возникновения. Выделяют внешние и внутренние причины инфляции.

           К внешним причинам относятся:

     1. Интернационализация хозяйственных связей: наличие инфляции в других странах влияет на динамику внутренних товарных цен через цены импортируемых товаров. Центральный банк страны для создания собственных валютных резервов скупает иностранную валюту у коммерческих банков, выпуская для этих целей дополнительную национальную валюту, что увеличивает количество денег в обращении.

        2. Мировые экономические кризисы. Так, мировой структурный кризис 70-х гг. XX столетия вызвал рост цен на природные ресурсы в 7 раз, в том числе на сырую нефть – в 20 раз. В результате цены на готовую продукцию резко подскочили в Японии, США, Западной Европе. Этот фактор имеет большое значение, например для Белоруссии, экономика которой на 90% и более зависит от импорта топливно-энергетических ресурсов. Рост цен на них является одной из главных причин раскручивания инфляционной спирали.