Система одновременных уравнений

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Саратовский государственный социально-экономический  университет

Кафедра прикладной математики и информатики 
 
 
 
 

ОТЧЁТ 

По теме «Система одновременных уравнений» 
 
 
 

Выполнили:

Студенты 3 курса, 4 группы

Факультета  информатики и информационных технологий

Корякина  Ольга и 

Рамазанова Изольда 

Проверил:

Выгодчикова Ирина Юрьевна 
 
 
 
 
 
 

Саратов

2011

Система одновременных уравнений.

Косвенный метод наименьших квадратов  (КМНК).

   В зависимости от того, является уравнение  системы идентифицируемым или сверхидентифицируемым, используются различные методы оценки его структурных параметров. Косвенный метод наименьших квадратов позволяет построить оценки параметров только точно идентифицируемых уравнений. КМНК включает следующие этапы:

1. по структурной форме модели строится приведенная форма;
2. определяются МНК-оценки параметров приведенной формы;
3. по МНК-оценкам приведенной формы вычисляются оценки параметров структурной формы.

   Таким образом, для оценок структурных  параметров в КМНК используются МНК-оценки параметров приведенных уравнений. Отсюда и название метода.

   Для оценки структурных параметров по приведенным воспользуемся равенством, которое выглядит следующим образом: 

АМ + В = 0, 

или через  расширенную матрицу структурной  формы А = (А | В)  

 

где I — единичная матрица k х k. Для оценки коэффициентов i-й строки матрицы А. Учтем априорные ограничения: условие нормализации и равенство нулю некоторых структурных коэффициентов. Таким образом, вектор коэффициентов i-й строки матрицы А удовлетворяет следующей системе уравнений:

 

можно показать, что если i-с уравнение идентифицируемо и выполнено условие нормализации, то система имеет единственное решение. Если значения элементов матрицы приведенной системы М неизвестны, то в системе используются их МНК-оценки.

Задача.

Исследуя зависимость  вида: 
 

где

у₁, — годовое потребление свинины на душу населения (в фунтах),

у₂ —оптовая цена за фунт (в долл.),

х₁— доход на душу населения (в долл.),

х₂ — расходы по обработке мяса (в % к цене).

Выборочные данные за пять лет представлены в табл. 1.

 

   Используя КМНК, оценить структурные параметры  СОУ: 
 
 
 
 

Проверка  на выполнение условия идентифицируемости модели:

N-количество предопределенных переменных в модели

n- количество предопределенных переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость

M- количество эндогенных переменных в модели

m- количество эндогенных переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость

k- матрица эндогенных коэффициентов при переменных не входящих в уравнении, проверяемое на идентифицируемость

Первое условие  идентифицируемости  

Второе условие  идентифицируемости 

Для нашей  задачи

N=2, n=2, M=2, m=1

     Оба уравнения точно идентифицируем, поэтому для оценки структурных  параметров можно применить КМНК. Составим приведенную форму модели: 
 
 

С помощью  уравнения регрессии мы нашли  коэффициенты при переменных:

m₁₁= 0,006

m₁₂= -0,265

m₂₁ =  0,0003

m₂₂=0,112

 Выражаем из уравнения

  x_2t и подставляем в , получаем 
 
 
 
 
 

Отсюда  .

 Аналогично получим  
 

Отсюда  . 

Решение задачи: