Сеточные методы в задачах аэродинамики

     ,       (12)

                                 (13)

     Преобразуем

      ,      (14)                .        (15) Здесь   и . При достаточно малых можем отбросить погрешность аппроксимации , и получим конечно-разностную схему  первого порядка аппроксимации:

     ,    (16)

                      (17)

                                           (18)

     Таким образом, решение краевой задачи для дифференциального уравнения (1)-(3) сведено к решению системы алгебраических уравнений (16)-(18). Такая система будет линейной или нелинейной в зависимости от того,  линейно (или нелинейно) исходное дифференциальное уравнение.

     О близости задачи (16)-(18) к исходной задаче (1)-(3) судят по норме вектора . Если норма этого вектора при , то говорят, что построенная разностная схема (16)-(18)  аппроксимирует исходную краевую задачу (1)-(3). Если при этом выполняется условие , то говорят, что разностная задача (15)-(17)  аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (1)-(3)  с погрешностью -го порядка относительно h. В рассмотренном случае имеем погрешность первого порядка, так как граничные условия заменялись соотношениями первого порядка аппроксимации. Для повышения порядка аппроксимации достаточно более точно заменить первые производные на концах отрезка    и .

     Соотношения (16)-(18)  представляют собой систему алгебраических уравнений, число которых совпадает с числом неизвестных. Решив эту систему, найдем приближенное решение исходной задачи (1)-(3).

     При использовании алгоритма метода сеток всегда возникают  следующие вопросы:

     1)    Существует ли решение системы  алгебраических уравнений вида (16)-(18);

     2)    Какими методами стоит находить  это решение;

     3)    Сходится ли в какой-либо норме  полученное решение разностной  задачи (16)-(18) к точному решению исходной задачи (1)-(3) при стремлении шага сетки к нулю, .

     Доказательство  существования единственного решения  системы (16)-(18) основывается на том, что исходная задача (1)-(3) была линейной и для ее аппроксимации использовались также линейные соотношения. Следовательно, полученная система уравнений (16)-(18) также является линейной с трехдиагональной матрицей. Известно, что при выполнении условия диагонального преобладания элементов этой матрицы, решение системы существует и является единственным. Решается такая система методом прогонки. Эти вопросы рассматривались в курсе Численных Методов Алгебры. 

     Что касается сходимости решения, то в  общем случае по погрешности аппроксимации  нельзя сделать вывод о погрешности  решения. Однако, доказывается, что, если функция , а являются дважды непрерывно дифференцируемыми функциями и граничные условия являются краевыми условиями первого рода, то при разностное решение равномерно сходится к точному со скоростью .

     Для оценки сходимости полученного решения  в общем случае необходимо провести расчеты для различных значений шага (не менее 3)  и убедиться, что в одних и тех же узлах полученные значения сеточной функции близки между собой.

     Метод конечных разностей используется также  для граничных задач с нелинейным дифференциальным уравнением. Алгоритм применения метода сеток при этом не изменяется, но мы получим нелинейную систему алгебраических уравнений. Для решения такой системы необходимо использовать итерационные методы. Можно также использовать метод линеаризации, то есть сведение решения нелинейной системы к решению последовательности систем линейных алгебраических уравнений. 

     Для нелинейной задачи на основе обыкновенного  дифференциального уравнения второго  порядка  также рассматривается  вопрос ее аппроксимации разностной задачей, исследуется вопрос погрешности  такой аппроксимации, порядка аппроксимации  и возможности повышения порядка  аппроксимации. Если исследовать устойчивость полученной разностной схемы сложно, то следует провести расчет на нескольких сетках с различными шагами. Если при убывании шага сетки все разностные решения близки между собой и стремятся к некоторому пределу со скоростью, соответствующей порядку точности схемы, то это является свидетельством хорошей устойчивости [2]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 
 

     3.1 Основные положения полета

     Ось абсцисс направлена в сторону полета дельтапланериста параллельно горизонту, ось ординат – вверх через поверхность отрыва. Начало координат расположено так, что абсцисса точки старта и ордината критической точки – конца участка приземления – равны нулю. Если нет бокового ветра и других возмущений, а пилот движется лишь прямо, не пуская дельтаплан в крен, центр масс системы описывает кривую в вертикальной плоскости, то есть задачу полета можно рассматривать как двухмерную.

     Очевидно, дельтапланерист может изменять свои аэродинамические параметры, на которые влияют следующие факторы:

     1) кинетический момент системы пилот-дельтаплан относительно оси, перпендикулярной плоскости траектории полета и проходящей через центр масс системы, в момент отрыва и в полете;

     2) изменение момента инерции системы относительно той же оси в полете;

     3) различные активные и реактивные эффекты, связанные с вращением различных частей тела вследствие работы мышц.

     Результаты многих исследований [5] доказывают относительную статичность положения дельтапланериста в полете. Это упрощает описание картины перемещений и скоростей системы пилот-дельтаплан и позволяет использовать индивидуальные экспериментальные характеристики, получаемые в аэродинамической трубе. Благодаря этому было введено предположение о неизменности позы пилота в полете.

     Весь  полет дельтапланериста можно разбить на три фазы: взлет, сам полет и подготовку к приземлению. Первая и третья фазы, по сравнению с самим полетом  длятся настолько незначительное время, что, при моделировании полета предполагается рассматривать только вторую фазу. Все это время поза пилота практически не меняется.

     Таким образом, в основной фазе полет близок к поступательному движению, что делает естественным предположение о замене рассмотрения пилота и дельтаплана рассмотрением движения его центра масс.

     3.2 Уравнения движения

     В полете на дельтаплан действуют только две силы: аэродинамическая сила  и сила веса. Первая приложена в  центре давления, а вторая — в центре массы аппарата. Разложим аэродинамическую силу на две составляющие, подъемную силу и силу лобового сопротивления (рисунок 2) и запишем второй закон Ньютона для центра масс системы дельтаплан-пилот:

      ,          (19)

где  – сила тяжести, Н;

      – масса системы, кг;

      – ускорение центра масс системы, ;

      – ускорение свободного падения,;

      – подъемная сила, Н.

    

 

    Рисунок – 2 Система координат и основные силы, действующие на пилота в полете 

     Сила  лобового сопротивления направлена по касательной к траектории противоположно скорости и пропорциональна квадрату модуля скорости:

     ,         (20)

а подъемная  сила направлена по нормали к траектории и по модулю равна:

     ,         (21)

где коэффициент  . Коэффициент определяется предельной скоростью системы :

     .          (22)

     Предельная  скорость – это скорость установившегося свободного падения тела в воздухе.

    Спроецировав  (19) на оси координат, а так же дважды продифференцировав приходим к дифференциальным уравнениям движения: 

                                         (23) 

     Введя новые переменные , понизим порядок системы : 

                                         (24) 

     Следует также помнить, что воздушная  среда находится в движении, в  воздухе вокруг полетной зоны задано векторное поле скоростей ветра. То есть все предыдущие уравнения записаны для относительных скоростей и их следует переписать для абсолютных скоростей. 

                       (25) 

где – горизонтальная, а – вертикальная составляющая скорости ветра.

    Начальные условия:

                                                    (26)

    Очевидно, что в общем случае задача если и решается аналитически, то очень  сложно, поэтому целесообразнее решать ее численно. Критерием окончания расчета будет служить условие пересечение траектории с поверхностью нулевой высоты.

    Рассмотрим  коэффициенты k и. Эти коэффициенты зависят от ориентации дельтаплана в воздухе. Её в пространстве определяет угол атаки системы пилот-дельтаплан, то есть угол между плоскостью системы и скоростью набегающего потока воздуха. Здесь и далее в подобных случаях под набегающим потоком воздуха понимается скорость воздуха относительно системы пилот-дельтаплан. Так как положение пилота находится рядом с центром масс системы, и практически не влияет на величину подъемной силы, вся система становится как бы треугольным крылом с одним углом атаки.

     Для силы лобового сопротивления (20) и подъемной силы (21) существуют и другие выражения:

                                                           (27)

     ,         (28)

где – плотность воздуха;

    – коэффициент силы лобового сопротивления;

    – коэффициент подъемной силы;

    – площадь миделя (площадь сечения системы пилот-дельтаплан в плоскости, перпендикулярной набегающему потоку воздуха).

     Если  считать, что пилот  не влияет на величину набегающего на крыло воздуха, а вся система находится в одной плоскости, то площадь миделя при заданном угле атаки определяется следующим образом: , где - площадь миделя при угле атаки 90⁰. Угол атаки складывается из угла между горизонталью и скоростью и угла между горизонталью и крылом (рисунок 3).