Решение задачи по второму закону Кеплера

Постановка  задачи. Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость второго закона Кеплера, определяющего движение тел по замкнутой траектории.

В начале работы необходимо уточнить формулировку и условия задачи:

по заданным условиям (начальные координаты малого тела, начальная скорость малого тела, масса большого тела) построить траекторию движения малого тела, проверить является ли она эллипсом, если да, то проверить  выполнение второго закона Кеплера  для данных тел. Считать,  что система, в которой производится моделирование, состоит из 2х тел. Считать гравитационную постоянную . Считать центральное тело неподвижным. Производить расчеты для тел, удаленных от центра системы не более чем на 100 а.е. Считать а.е. = 149 597 890 000м, а центром системы – центр большого тела.

Далее опишем методы исследования процесса:

По закону всемирного тяготения  сила притяжения, действующая между  двумя телами, пропорциональна их массам и обратно пропорциональна  квадрату расстояния между ними. Если поместить начало системы координат  на одном из тел (размерами тел  по сравнению с расстоянием между  ними будем пренебрегать), математическая запись силы, действующей на второе тело, имеет вид (рис. 1)

(1)

Здесь G = 6,67∙10^-11 м³/кг∙с²) - гравитационная постоянная.

 

Рис. 1 Выбор системы координат при решении задачи двух тел

 

Знак «минус» в формуле (1) связан с тем, что гравитационная сила является силой притяжения, т.е. стремится  уменьшить расстояние г между  телами.

Рассмотрим случай, когда центральным  телом является Солнце, масса которого

М=1,9891Ч1030 кг, а обращающимся Земля, т.е. за расстояние примем 1 астрономическую  единицу, равную 149 597 890 000м, пренебрегая при этом относительно небольшими силами притяжения от всех прочих небесных тел. Разумеется, мы тем самым произвели ранжирование факторов, и наши последующие действия имеют отношение к реальности лишь в меру соблюдения определенных условий.

Уравнение, описывающее движение тела m в указанной системе координат, имеет вид

или в проекциях на оси х, у

(2)

Интересующая нас орбита сильно зависит от «начальной скорости»  тела т и «начального расстояния. При моделировании нам придется принять некоторое положение условно за начало, а затем изучать движение дальше. Очень часто космические тела движутся практически с постоянной скоростью по орбитам, близким к круговым. Для таких орбит легко найти элементарное соотношение между скоростью и радиусом. В этом случае сила тяготения выступает в роли центростремительной, а центростремительная сила при постоянной скорости выражается известной из начального курса физики формулой mv²/r. Таким образом, имеем

или

(3)

- искомое соотношение.

Период движения по такой орбите

Если соотношение (3) нарушено, то орбита не будет круговой. Выяснить, какой  она будет, можно в ходе численного моделирования. Сведем (2) к системе  четырех дифференциальных уравнений  первого порядка:

(4).

Методы вычислений. При использовании математической модели движения получена система дифференциальных уравнений (4), описывающая параметры движения тела. Для вычисления траектории движения необходимо решить систему уравнений 4, для ее решения необходимо применять численные методы. Был использован метод Эйлера.

Метод Эйлера дает возможность  построить таблично заданную функцию  на некотором интервале ее значений. По методу Эйлера напишем систему  соотношений (6) для нахождения таблицы  значений функций описанных уравнением (3) и удовлетворяющих условию (5). Подробнее процесс построения таблицы значений функций по методу Эйлера описан в [6].

                                                                  (5)

                          (6)

Где шаг сетки значений h.

Для проверки закона Кеплера нам необходимо сравнить площади секторов, заметаемых радиус-вектором за одинаковые промежутки времени. Если площади будут равные в достаточной  степени точности, то мы сможем утверждать, что второй закон Кеплера выполняется. Для этого возьмём достаточно малое приращение по времени, для  того, чтобы площадь данного сектора  стремилась к площади треугольника, со сторонами а, b, c (рис.2).

 

 

Рис.2

Для вычисления площади  треугольника, у которого заданы координаты вершин можно воспользоваться формулой Герона

    (7)

где p – полупериметр треугольника, изображенного на рис. 2, a, b, c – длины его сторон.

Из системы уравнений (7) мы можем выразить координаты точек  эллипса, удовлетворяющих заданной степени точности. Координаты начала векторов a,b будут равны (0,0), т.к. за начало координат принято Солнце. Длины векторов вычисляются по известной из алгебры формуле:

  (8)

Таким образом, мы сможем вычислить площади  треугольников, которые в совокупности будут  давать площадь самого эллипса. Для  того, чтобы утверждать, что закон  Кеплера справедлив, возьмём наибольшую и наименьшую из полученных площадей, если разница между ними будет  незначительна (к примеру, равна  до пятого знака после запятой), то закон выполняется, так как площадь  больших секторов для больших  промежутков времени есть сумма  полученных секторов и данного приращения по времени, мы можем утверждать, что  закон Кеплера будет выполняться  при любых условиях, если он будет  выполняться при заданных.

После того как модель готова остаётся только написать программу, которая будет  реализовывать данный алгоритм. Наша программа написана на языке С++.

Входные данные программы:

Mg= 132672970000000000000.0 метров – произведение массы Солнца на константу g.

x = 149600000000.0 – начальная координата малого  тела по оси х

y = 0 –  начальная координата малого  тела по оси у

vx = 0 м/с  – начальная скорость по оси  х

vy = 29785 м/с   – начальная скорость по оси  у

Выходные  данные программы:

sMax –  площадь максимального из заметаемых  радиус-вектором секторов

sMin – площадь минимального из заметаемых радиус-вектором секторов

Тестирование:

При заданных входных параметрах,  площади  треугольников, получаемых с помощью  описанного выше алгоритма приближённо  равны (не равны точно, т.к. в языке  С++ переменные типа float при вычислениях округляются). sMax = 8.02207e+018, sMin = 8.01897e+018.  Это позволяет говорить о том, что второй закон Кеплера справедлив.