Решение транспортной задачи средствами MS Excel

u1 =0, u2 =-8, u3 =-6

v1 =5, v2 =10, v3 =12

Переходим к проверке условий оптимальности (1). Достаточно проверять их для незаполненных клеток, так как для клеток заполненных эти условия выполняются как равенства. Для проверки берется незаполненная клетка, складываются соответствующие ей потенциалы (первый элемент строки и последний элемент столбца) и из них вычитается цена перевозки в данной клетке. Если полученное число отрицательное (или ноль), то оптимальность в данной клетке не нарушается (в случае выполнения условия (1) для всех незаполненных клеток, имеем оптимальный план перевозок). Если же в таблице встретилась хотя бы одна клетка, для которой это число положительно, тогда решение не является оптимальным и может быть улучшено.

Проверим на оптимальность имеющееся решение

(2,1) u2+v1-c21=-8+5-8=-11<0

(2,2) u 2 +v2 -c22=-8+10-6=-4<0

(3,1) u 3 +v1 -c31=-10+ 5-0=-5<0

(3,3) u 3 +v3 -c33=-10+12-0=2>0

Следовательно, условие оптимальности нарушено в клетке (3,3).

Имеющийся план перевозок можно улучшить.

Дадим описание заключительного шага алгоритма метода потенциалов.

ШАГ 3 Улучшение плана перевозок.

Улучшение плана происходит путем назначения перевозки θ>0 в ту клетку (i , j) таблицы, в которой нарушилось условие оптимальности. Но назначение ненулевой перевозки нарушает условия баланса вывоза продукции от поставщика i (вывозит весь запас и еще плюсθ>0 ) и условия баланса привоза продукции к потребителю j (получает все что можно и еще плюс θ > 0). Условия баланса восстанавливают путем уменьшения вывоза от i-поставщика к какому-то другому потребителю j (уменьшают на θ перевозку в какой-то заполненной клетке (i , j) строки i). При этом нарушается баланс привоза продукции к потребителю j (получает на θ меньше, чем ему требуется). Восстанавливают баланс в столбце j, тогда он нарушается в некоторой строке i и т.д. до тех пор, пока цикл перемещения перевозок не замкнется на клетке, в которой нарушалось условие оптимальности. Продемонстрируем эти рассуждения на нашем примере.

1. Оптимальность нарушена в клетке (3,3). Назначим в нее перевозку θ>0 (+θ означает, увеличение на θ).

2.Нарушается баланс вывоза от поставщика 3 (вывозит 50+ θ, а это больше его запаса!). Уменьшаем на θ перевозку в заполненной клетке строки 3 (вне заполненной уменьшать нельзя, так как это приведет к отрицательной перевозке).

Рассмотрим те клетки цикла в которых уменьшаем на θ перевозку и берём минимум из вычетаемых, у нас это min{10- θ ,50- θ }=10.

И данное число надо подставить в цикл

§3. Транспортные задачи по различным критериям

Транспортная задача по критерию времени

Иногда возникает ситуация, когда в условиях (ТЗ) необходимо минимизировать не стоимость перевозок, а время их выполнения (Срочные грузы, перевозки скоропортящихся продуктов, работа «скорой помощи» и т.д.)

Имеется m поставщиков однородного груза и n потребителей груза. Для каждой пары (,) известно время , за которое груз перевозится от к . Требуется составить такой план перевозок, при котором все запасы поставщиков будут вывезены, а все запросы потребителей будут полностью удовлетворенны и наибольшее время доставки всех грузов будет минимизирован.

Задача о назначениях (Венгерский метод)

Имеется n видов работ и n рабочих. Каждый рабочий может выполнить любую из n работ за некоторое время (цена рабочего). Требуется распределить все работы между всеми рабочими так, чтобы время выполнения работ было минимальным, а каждую работу выполнял только один рабочий.

§4. Решение транспортной задачи в Excel

В качестве примера я рассмотрел транспортную задачу для 2 складов и 5 магазинов.

                    В ячейки C4:C5 записал объемы продукции, имеющиеся на 2 складах.

                    В ячейки E5:I5 - заявки на продукцию, поступившие от магазинов.

                    В ячейки B8:F9 - матрицу транспортных расходов, задающую расходы на перевозку из I-го склада в J-й магазин единицы продукции.

                    В ячейки B13:F14 - план перевозок - матрицу, задающую количество товара, перевезенного из I-го склада в J-й магазин. Начальное распределение плана задано по принципу "каждой сестре по серьге", равномерно распределив всю имеющуюся на складе продукцию по магазинам. Эти ячейки являются регулируемыми и Решатель должен найти более подходящее решение, изменив значения в этих ячейках.

                    В ячейку D15 - записал целевую функцию:

{ =СУММ((B8:F8*B13:F13)+(B9:F9*B14:F14))}

                    В ячейки D17:H17 записал ограничения, задающие требование о точном выполнении заявки каждого магазина. Как обычно, я записал соответствующую формулу в первую из этих ячеек:

{=СУММ(B13:B14) - E5 }

Затем скопировал ее. При копировании формула автоматически меняется, задавая нужное ограничение. Правда, нужно следить при этом за правильной ориентацией данных. Например, в данном случае формулу нужно копировать в строку, а не в столбец.

                    Затем задал следующую группу ограничений. Эти ограничения отвечают тому естественному условию, что со склада нельзя увести больше продукции, чем там имеется. Формула, помещенная в ячейку D18, имеет вид:

{=C4 - СУММ(B13:F13)}

Эта формула скопирована уже по столбцу в ячейку D19. Подготовительный этап завершен - можно вызывать Решатель.

При вызове Решателя и задании параметров в его диалоговом окне выполнялась стандартная работа по указанию ячейки с целевой функцией, диапазоном регулируемых ячеек и заданием ограничений. Заметьте, помимо двух групп ограничений я задал и ограничения целочисленности переменных. Предполагается, что продукция может перевозиться только целыми единицами - бочками, мешками, ящиками. Такие ограничения в Решателе создаются совсем просто, - достаточно среди операторов, связывающих левую и правую части ограничения, выбрать оператор int. Взгляните, как выглядят результаты моей работы:

Рис. 2.21. Окно Решателя при решении транспортной задачи

Прежде чем дать команду на решение задачи, я провел настройку параметров в окне Options. В частности я включил флажки, указывающие на линейность модели и положительность переменных. Кроме того, я увеличил точность решения целочисленной задачи, задав в окне Tolerance значение в 1% вместо 5%, принятых по умолчанию.

Рис. 2.22. Настройка в окне параметров Решателя при решении транспортной задачи

Осталось щелкнуть кнопку "Solve" и получить оптимальный план перевозок. Вы можете проанализировать, насколько оптимальный план отличается от равномерного распределения, предложенного в качестве первоначального варианта, и как уменьшились транспортные расходы:

Рис. 2.23. Решение транспортной задачи

Параметры, управляющие работой Решателя

Рассмотрим возможности управления работой Решателя, задаваемые в окне Параметры (Options):

                    Максимальное время (MaxTime) - ограничивает время, отведенное на процесс поиска решения. По умолчанию задано 100 секунд, что обычно достаточно для задач небольшой размерности, имеющих около 10 ограничений. Для задач большой размерности придется это значение увеличивать.

                    Предельное число итераций (Iterations) - еще один способ ограничения времени поиска путем задания максимального числа итераций. По умолчанию задано 100, но это число можно увеличивать до 32767. Чаще всего, если решение не получено за 100 итераций, надежд получить его при увеличении этого значения мало. Лучше попытаться изменить начальное приближение и запустить процесс поиска заново.

                    Относительная погрешность (Precision) - задает точность выполнения ограничений. Иногда проще изменить ограничение, отодвинув границу, чем пытаться выполнить ограничения с высокой точностью.

                    Сходимость (Convergence) - задается десятичной дробью, меньшей единицы, позволяя остановить процесс поиска при сходимости решения к неподвижной точке, когда относительные изменения в течение последних 5 итераций не превышают заданную дробь.

                    Линейная модель (Assume Linear Model) - этот флажок следует включать, когда целевая функция и ограничения - линейные функции. Эта дополнительная информация позволяет Решателю упростить процесс поиска решения.

                    Неотрицательные значения (Assume Non-Negative) - этим флажком можно задать ограничения на переменные, что позволит искать решения в положительной области значений, не задавая специальных ограничений на их нижнюю границу.

                    Показывать результаты итераций (Show Iteration Results) - флажок, позволяющий включить пошаговый процесс поиска, показывая на экране результаты каждой итерации. В сложных ситуациях, когда Решатель не находит решения автоматически, рекомендуется включать этот флажок, так как иногда можно найти точку, от которой процесс поиска уклонился в сторону.

                    Автоматическое масштабирование (Use Automating Scaling) - флажок автоматического изменения масштаба следует включать, когда масштаб значений входных переменных и целевой функции и ограничений отличается, возможно, на порядки. Например, переменные задаются в штуках, а целевая функция, задающая суммарную стоимость, измеряется в миллионах рублей.

                    Относительная погрешность (Tolerance) - задается в процентах. Указанное значение имеет смысл только для задач с целочисленными ограничениями. Решатель в таких задачах вначале находит оптимальное не целочисленное решение, а потом пытается найти ближайшую целочисленную точку, решение в которой отличалось бы от оптимального не более чем на указанное данным параметром количество процентов. Если такая точка найдена, Решатель сообщает об успехе. При большом допуске (по умолчанию 5%) может быть потеряно лучшее целочисленное решение, правда, отличающееся от найденного Решателем в пределах допуска. Для целочисленных задач допуск имеет смысл уменьшить, что я и сделал при решении транспортной задачи. Хочу еще раз обратить внимание на эту особенность решения задач целочисленного программирования. Если значение параметра Tolerance задать большим, то Решатель может остановиться раньше времени, не найдя лучшего целочисленного решения. Если же его взять малым, то наилучшее целочисленное решение будет отличаться от оптимального нецелочисленного решения на величину большую, чем ту, которая задается параметром Tolerance. В этом случае формально решение заканчивается неуспехом, поскольку найденное решение не удовлетворяет всем требованиям. Конечно, параметр Tolerance играет служебную роль, и "умный" Решатель, найдя наилучшее целочисленное решение, должен был бы уведомлять, что решение найдено, но ограничение по Tolerance не выполнено. Этого, однако, не происходит. Мы еще столкнемся с этой ситуацией при рассмотрении следующей задачи.