Решение неравенств и систем неравенств на числовой прямой

  Решение неравенств и систем неравенств на числовой прямой 

 

 

 

 

 

Решаем неравенства, так же как  и уравнения, на основании определния и свойств неравенств.

 

.

 

1.Решим неравенство: х > 3

 

 

Решением будет множество чисел, расположенных на числовой прямой справа от числа 3, так как разность любого из этих чисел и числа 3 – положительна 

 

 

  

 

Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому точка не закрашена.

 

Ответ: x є(3;∞)

 

Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая.

 

У знака ∞ скобка всегда круглая

 

 

 

 

2. Решим неравенство 3х < 6

 

 

Разделим обе части уравнения  на 3. Знак неравенства не изменится, так как 3 – положительное число. 

 

x < 2 

 

 

 

Решением будет множество чисел  слева от числа 2 

 

Значение х=2 не входит в множество решений, поэтому точка не закрашена. 

 

Ответ: x є(-∞;2)

 

Значение х=2 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая

 

 

 

 

3. Решим неравенство - 3х  6

 

 

Разделим обе части уравнения  на 3. Знак неравенства  изменится, так  как - 3 – отрицательное число 

 

x ≥  - 2 

 

 

 Решением будет множество  чисел справа от числа 2, включая  само число. 

 

 

  

 

 

 

Значение х=2 входит в множество решений, поэтому точка закрашена. 

 

Ответ: x [2;∞)

 

Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная.

 

 

 

 

Чтобы решать более сложные линейные неравенства нужно действовать  так же, как и в уравнениях: раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, переносить слагаемые из одной части уравнения в другую и так далее.

 

 

 

4.Решим систему неравенств:

 

Решаем каждое неравенство 

 

 

Множество решений изображаем на одной  числовой прямой 

 

 

  

 

 

Поскольку система предполагает пересечение  множеств решений, то множество решений  системы подчеркнуто двумя линиями. 

 

Ответ: x [1;2)

 

 

 

 

5.Решим совокупность неравенств:

 

Решаем каждое неравенство 

 

 

 

Множество решений изображаем на одной  числовой прямой 

 

 

 

 

 

 

Поскольку совокупность предполагает объединение множеств решений, то множество  решений системы подчеркнуто  хотя бы одной линией. 

 

 

Ответ: x(-∞;3,5)

 

 

 Неравенства с модулем 

 

 

 

Определение: =

 

 

Решим неравенство:

Чтобы решить неравенство с модулем  надо избавиться от знака модуля.

 

Запишем на основании определения: 

 

 

    или   

 

Решим каждую систему отдельно 

x < - 2      или      x > 2

 

Изобразим множества решений на одной числовой прямой.  

 

 

 

 

Cовокупность предполагает объединение множеств решений. 

 

Ответ: x (-∞;-2)(2;∞)     

 

 

 

 Решение квадратичных  неравенств на числовой прямой  

 

 

 

 

Решим неравенство: x²-3x-4<0

Мы знаем, что график квадратного трехчлена – парабола, причем при а>0 ветви направлены вверх. 

 

 

По теореме Виета найдем корни х₁ = - 1; х₂ = 4 

 

 

Нарисуем эскиз параболы 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На промежутке от – 1 до 4 значения квадратного трехчлена меньше 0 

Ответ:   x

     

 

 

 Решение неравенст с двумя переменными на координатной плоскости 

 

 

 

 

 

1.Решим неравенство у > 2х

Построим график уравнения y = 2x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Точки графика не принадлежат множеству  решений, поэтому изображаем график пункти 

 

 

  

 Множеством решений неравенства  будет множество точек, ординаты  которых больше у.

 

 

 

 

 

 

2.Решим систему неравенств 

 

 

Строим графики уравнений

 

 y=x2 и у = х + 1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решаем каждое неравенство 

 

 

Решением неравенства будет  являться пересечение множеств решений неравенств. 

 

 

 

 

  

 Метод интервалов 

 

 

Метод интервалов основан на методе полной индукции (перебор всех вариантов) и на свойстве непрерывной функции сохранять знак между значениями, в которых она обращается в 0 (интервалы знакопостоянства)

 

Решение неравенств.

 

Рассмотрим график многочлена.. Это непрерывная функция. Значение 0 она приобретает 3 раза, f(x) = 0 в точках x1, x2, x3, корнях многочлена.

 

В промежутках между ними она  сохраняет знак.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку для решение неравенства  f(x)>0 нас интересует только знак функции, перейдем от графика к координатной прямой.

 

 

 

 

 

-f(x)>0 при x(x₁; x₂) и при x(x₃; ∞)

 

f(x)<0 при x( - ∞; x₁) и при х (x₂; x₃)

 

 

 

Для определения знака функции  на интервале достаточно знать знак функции в одной из точек интервала  знакопостоянства.

 

Этим методом удобно решать неравенства, левая часть которых разложена  на множители, поскольку в них  не представляет труда найти корни.

 

Порядок действий рассмотрим на примере:

 

Решить неравенство  (x-2)(x+3)(2x-3)(2x-3)(3-x)>0

 

1.Отметим на числовой прямой  корни неравенства.

 

 

 

 

2.Вычислим знак одного из  значений функции на каждом  интервале.                         

 

  

x< -3    - , - , - , +   < 0

 

 

 

x(- 3; 1,5);     - , + , - , +  > 0

 

 

 

x(1,5; 2);       - , + , + , +  < 0 

 

 

 

x(2;3);            + , + ,+ , + > 0

 

 

 

x> 3;                + , + , + , -  < 0

 

 

 

 

 

 

3 Нанесем результаты на числовую прямую

 

 

 

 

 

 

4. В зависимости от знака неравенства  выбираем нужные промежутки и  записываем ответ.

 

 

 

 

 

 

5.Ответ: x( -∞ ; - 3)( 1,5; 2)( 3; ∞)

 

 

 

Метод интервалов можно ипользовать и при решении дробно рациональных неравенств вида , хотя дробно рациональная функция разрывна в точках, в которых знаменатель равен 0.

 

В этом случае заменяем неравенство  эквивалентной системой: .