1. ряд сходится для всех точек . Обозначим сумму ряда за функцию , .
2. ряд сходится равномерно для всех точек и следовательно обладает свойствами равномерно сходящихся рядов.

 

Сделав эти  предположения, будем удовлетворять  начальными условиями функции  . При этом заметим, что сделанные предположения относительно ряда (7) будут оправданы, если получив полное решение краевой задачи, мы докажем ее достоверность.

VI 

:

Это равенство  представляет собой разложение в  тригинометрический ряд Фурье по синусам функции  , заданной на , дополненной нечетным образом на промежуток и продолженной периодически на всю числовую ось с периодом можно вычислить с помощью известных формул Фурье:

  (8) 
 

Это равенство  представляет собой разложение в  тригонометрический ряд Фурье по синусам функции  , заданной на , дополненной нечетным образом на промежуток и продолженной периодически на всю числовую ось с периодом можно вычислить с помощью известных формул Фурье:

 (9) 

Таким образом все условия краевой задачи удовлетворены и ее точное решение получено в виде функционального ряда (7), в котором коэффициенты и должны быть вычислены по формулам (8), (9). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§5. Доказательство достоверности решения, полученного методом Фурье.

 

1) Подставим полученный ряд в исходное ДУЧП :

 

При подстановке в  ДУЧП полученных производных выражения в левой и правой частях равенства будут иметь сходный вид, поэтому для доказательства достоверности необходим сравнить только коэффициенты при и при : 

а) Коэффициенты при :

   

   

     - верно

б) Коэффициенты при  :

    

    

     - верно 

2) Проверка граничных  условий: 

а) - верно

б)

- верно 

3. Проверка  начальных условий:

 

а)

Проверим данное равенство графически в пакете Mathematica, взяв : 

Plot[{ ,x},{x,-1,1}] 

 

Как видно, графики обоих функций визуально совпадают верно 

б) верно. 

Достоверность решения доказана. 
 
 
 

§6. Задание на исследование. Численная и графическая реализация решения.

Определить качественную зависимость продолжительности  процесса от начального отклонения h для трех материалов с различными упругими свойствами: слабыми, умеренными и сильными. 

ДУЧП:

Для начала выведем  формулы для нахождения коэффициентов  a и b: 

Из §2 имеем, что  ; , где - натяжение струны, - линейная плотность вещества, - коэффициент сопротивления. 

Найдем  :

- напряжение

, где E – модуль Юнга, - относительное удлинение.

Возьмем мм – длина, на которую увеличивается струна.

S= - площадь поперечного сечения струны при мм.

 

Найдем  :

, где  - объемная плотность вещества 

Найдем  коэффициент  :

, где  - объемная плотность среды.

 
 

E – модуль Юнга

 длина струны

- объемная плотность вещества

- объемная плотность среды

Возьмем м, (воздух) 

1. Алюминиевая струна.

 

 

 

Табуляция значений функции:

t\x|0         1         2         3         4         5         6         7         8         9         10       

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0  |0.000000  0.199929  0.399987  0.599932  0.800052  1.000016  1.200039  1.400002  1.599992  1.800082  1.999908 

1  |0.000000  0.194001  0.385535  0.571740  0.749053  0.913051  1.058527  1.179824  1.271404  1.328560  1.348119 

2  |0.000000  0.165823  0.327940  0.482656  0.626311  0.755345  0.866382  0.956364  1.022694  1.063384  1.077183 

3  |0.000000  0.136063  0.268836  0.395098  0.511766  0.615966  0.705103  0.776936  0.829637  0.861856  0.872763 

4  |0.000000  0.110793  0.218869  0.321577  0.416394  0.500987  0.573270  0.631457  0.674109  0.700167  0.708985 

5  |0.000000 0.089946  0.177678   0.261038  0.337974  0.406590  0.465196 0.512349  0.546885  0.567954 0.575035

6  |0.000000 0.073100 0.144402 0.212147 0.274670 0.330430 0.378053 0.416368 0.444430 0.461549 0.467303

7  |0.000000 0.059407 0.117352 0.172407 0.223217 0.268531 0.307232 0.338369 0.361174 0.375085 0.379761

8  |0.000000 0.048278 0.095368 0.140110 0.181401 0.218226 0.249678 0.274981 0.293514 0.304819 0.308619

9  |0.000000 0.039234 0.077503 0.113863 0.147419 0.177346 0.202905 0.223469 0.238529 0.247717  0.250805

10 |0.000000 0.031884 0.062984 0.092533 0.119803 0.144123 0.164895 0.181606 0.193845 0.201312  0.203821 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Железная струна.

 

 

Табуляция значений функции:

t\x|0         1         2         3         4         5         6         7         8         9         10       

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0  |0.000000  0.199929  0.399987  0.599932  0.800052  1.000016  1.200039  1.400002  1.599992  1.800082  1.999908 

1  |0.000000  0.139263  0.275155  0.404378  0.523774  0.630402  0.721609  0.795104  0.849022  0.881983  0.893141 

2  |0.000000  0.076303  0.150729  0.221447  0.286719  0.344938  0.394673  0.434700  0.464033  0.481952  0.488015 

3  |0.000000  0.041722  0.082417  0.121086  0.156775  0.188609  0.215802  0.237688  0.253727  0.263524  0.266839 

4  |0.000000  0.022813  0.045065  0.066208  0.085723  0.103129  0.117998  0.129965  0.138734  0.144091  0.145904 

5  |0.000000  0.012474  0.024641  0.036202  0.046872  0.056389  0.064520  0.071063  0.075858  0.078787  0.079779 

6  |0.000000  0.006821  0.013473  0.019795  0.025629  0.030833  0.035279  0.038856  0.041478  0.043080  0.043622 

7  |0.000000  0.003729  0.007367  0.010823  0.014014  0.016859  0.019290  0.021246  0.022680  0.023556  0.023852 

8  |0.000000  0.002039  0.004028  0.005918  0.007662  0.009218  0.010547  0.011617  0.012401  0.012880  0.013042 

9  |0.000000  0.001115  0.002203  0.003236  0.004190  0.005040  0.005767  0.006352  0.006781  0.007043  0.007131 

10 |0.000000  0.000610  0.001204  0.001769  0.002291  0.002756  0.003153  0.003473  0.003708  0.003851  0.003899   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Вольфрамовая  струна.

 

 

Табуляция значений функции:

t\x|0         1         2         3         4         5         6         7         8         9         10       

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0  |0.000000  0.199929  0.399987  0.599932  0.800052  1.000016  1.200039  1.400002  1.599992  1.800082  1.999908 

1  |0.000000  0.080844  0.159700  0.234628  0.303784  0.365467  0.418160  0.460568  0.491646  0.510630  0.517054 

2  |0.000000  0.025029  0.049442  0.072640  0.094050  0.113147  0.129461  0.142590  0.152211  0.158089  0.160078 

3  |0.000000  0.007749  0.015307  0.022489  0.029117  0.035030  0.040080 0.044145  0.047124  0.048944  0.049559 

4  |0.000000  0.002399  0.004739  0.006962  0.009015  0.010845  0.012409  0.013667  0.014589  0.015153  0.015343 

5  |0.000000  0.000743  0.001467  0.002156  0.002791  0.003358  0.003842  0.004231  0.004517  0.004691  0.004750 

6  |0.000000  0.000230  0.000454  0.000667  0.000864  0.001039  0.001189  0.001310  0.001398  0.001452  0.001471 

7  |0.000000  0.000071  0.000141  0.000207  0.000268  0.000322  0.000368  0.000406  0.000433  0.000450  0.000455 

8  |0.000000  0.000022  0.000044  0.000064  0.000083  0.000100  0.000114  0.000126  0.000134  0.000139  0.000141 

9  |0.000000  0.000007  0.000013  0.000020  0.000026  0.000031  0.000035  0.000039  0.000041  0.000043  0.000044 

10 |0.000000  0.000002  0.000004  0.000006  0.000008  0.000010  0.000011  0.000012  0.000013  0.000013  0.000014   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Используя пакет  Mathematica, подсчитаем зависимость продолжительности процесса от высоты . Для этого построим на одном графике линии уровня функции , в которых она принимает значения, близкие к нулевым, подставляя туда соответствующие коэффициенты и для 3 различных материалов: 

                                                   

§7. Анализ результатов решения задачи.

 

     В процессе решения задачи для нахождения функции, определяющей расположения точек  струны в конкретный момент времени  использовался метод Фурье.  Была доказана достоверность этого решения. Было проведено исследование зависимости продолжительности процесса колебания от начального отклонения h. В качестве материалов струны в различных случаях использовались алюминий, железо и вольфрам. Было доказано, что продолжительность процесса колебания зависит от упругих свойств материала. Причем, чем больше значение модуля Юнга у материала, тем быстрее проходит процесс колебаний. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§8. Список используемой литературы.

 

1. Кацуба В.С. Конспект лекций по курсу «Специальные разделы высшей матерматики»;
2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учеб. для втузов: – М.: Издательство МГУ, 1999. – 798 с.;
3. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики - Наука, 1969. – 288 с.;