Проверка статистических гипотез

где , – заданные числа, означает операцию взятия остатка от деления на , – заданные фиксированные числа. Пусть для определенности , , , , . Построенная таким способом последовательность должна иметь равномерное распределение. Проверим это экспериментально.

     Отметим, что нулевой гипотезой в данном случае будет «данная последовательность имеет равномерное распределение».

     Очевидно, что последовательность (3) с заданными исходными данными способна генерировать числа от 0 до 15. Посчитаем частоты появлений каждого числа при генераций. При равномерном распределении частоты должны быть равны для каждого генерируемого числа , где – число вариант распределения. Результаты расчетов приведены в расчетной таблице 1.  

Таблица 1. Расчетная таблица проверки критерия Пирсона.

     В результате получено значение критерия

     Обратимся теперь к таблице критических  точек распределения Пирсона при числе степеней свободы 15 и уровне значимости 0.01 (Таблица 2) [2]. 

Таблица 2. Таблица критических точек распределения Пирсона.

     Так как  , можно сделать вывод: при уровне значимости нет оснований отвергнуть гипотезу H₀.

     Заключение. 

     Подводя итог, можно сформулировать алгоритм проверки статистической гипотезы, состоящий из пяти этапов:

1. Формулировка основной гипотезы и конкурирующей гипотезы. Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах.
2. Задание вероятности, называемой уровнем значимости и отвечающей ошибкам первого рода, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о правдивости гипотезы.
3. Расчёт статистики критерия такой, что:

• ее величина зависит от исходной выборки;

• по ее значению можно делать выводы об истинности нулевой гипотезы;
• сама статистика должна подчиняться какому-то известному закону распределения, т.к. она является случайной в силу случайности выборки.

4. Построение критической области;

5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в построенную статистику и по попаданию (или непопаданию) в критическую область выносится решение об отвержении (или принятии) нулевой гипотезы.

      Список литературы. 

1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие. / Гмурман В. Е. – М.: Высшая школа, 1972. – 368 с.
2. Кнут Д. Искусство программирования, том 2. Получисленные методы: пер. с англ. / Кнут Д. – М.: Вильямс, 2007. – 832 с.
3. Леман Э. Проверка статистических гипотез: пер. с англ. / Леман Э. – М.: Наука, 1979. – 408 с.
4. Харин Ю. С. Математические основы криптологии: учебное пособие. / Харин Ю. С., Берник В. И., Матвеев Г. В. – Минск: БГУ, 1999. – 319 с.