Производная и дифференциал

Производная и дифференциал

14. Исследование функции  и построение ее графика.   Сначала приведем определения четной, нечетной, периодической функции.    Функция y=f(x) называется четной (нечетной), если для каждой точки x из области определения она определена в точке -x и f(-x) = f(x) (соответственно f (-x) = -f (x)). График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 7а, 7б).    Функция y = f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если для любого значения x из области определения она определена в точке x+T и f (x) = f (x+T). Пусть T - наименьший положительный период. График периодической функции с периодом T получается повторением части графика, построенной на отрезке длины T (рис. 7в).  Примерами четных функций являются cosx, chx, |x|, x2. Нечетные функции: sinx, shx, tgx, ctg x, th x, cth x, x3. Периодические функции: sinx, cosx, (наименьший положительный период 2p), tgx, ctgx, (наименьший положительный период p).   Схема исследования функции. Исследование функции y=f(x) и построение ее графика можно проводить по следующей схеме.  1) Найти область определения.  2) Исследовать на четность, нечетность и периодичность.  3) Исследовать функцию на монотонность, экстремумы.  4) Исследовать функцию на направление выпуклости и точки перегиба.  5) Исследовать функцию на асимптоты.  6) Найти точки пересечения графика функции с осями системы координат.    Схема построения графика функции. График можно строить в следующей последо- вательности.  1) На оси Ох выделить область определения функции.  2) Начертить все асимптоты, если они есть.  3) Нанести точки графика, где достигаются экстремумы, если они есть.  4) Нанести точки перегиба, если они есть.  5) Нанести точки пересечения графика с осями системы координат, если они есть.  6) При необходимости исследовать поведение функции при x ® +¥ и -¥.  7) Начертить схематично кривую через нанесенные выше точки, учитывая поведение графика вблизи асимптот и при x ® +¥ и -¥.  8) Сравнить полученный эскиз с результатами исследования: проверить промежутки монотонности, промежутки выпуклости и вогнутости и т. д.  9) Уточнить эскиз графика. При необходимости найти дополнительные точки графика и начертить график так, чтобы она проходила через эти точки. Если функция четная (нечетная), то график начертить симметрично относительно оси Оу (соответственно начала координат). Если функция периодическая с наименьшим периодом T > 0, то построить часть графика на одном интервале длины T и повторить ее через период.    Пример. Провести полное исследование функции и построить ее график.    Решение. Функцию исследуем согласно схеме.  1) Область определения - множество всех действительных чисел, таких, что x ≠ 0. Точка x = 0 является точкой разрыва функции.  2) Функция не является четной, нечетной, периодической.  3) Найдем первую производную и решим уравнение y'=0: Производная не существует в  точке x = 0, но в ней функция не определена, поэтому она не является критической. Таким образом, критическими являются точки x = -2 и x = 1. Разобьем ими область определения на интервалы и найдем в них знаки производной (рис. 8а). Значение функции в интервалах (-¥, -2) и (1, +¥) положительно, а в интервалах (-2, 0) и (0, 1) отрицательно. Таким образом, функция возрастает в интервалах (-¥, -2) и (1, +¥), убывает в интервалах (-2, 0) и (0, 1), x = -2 - точка максимума, максимальное значение равно y(-2) = -4 e1/2 » -6,60, x = 1 - точка минимума, минимальное значение равно y(1) = -1/e » - 0,37.  4) Найдем вторую производную: Вторая производная существует во всех точках области определения  функции, значит, точка перегиба может  быть только при таких значениях  х, что у'' = 0. Решив уравнение получим х = 2/5 = 0,4. Этой точкой разобьем область определения функции на интервалы (рис. 8б). Чтобы определить знаки второй производной в этих интервалах, возьмем в каждой из них по одной точке (например, -1, 0.1, 1) и найдем знаки у'' в этих точках: у''(-1) < 0, у''(0.1) < 0, у''(1) > 0. Следовательно, у''< 0 в интервалах (-¥,0) и (0, 0.4), у'' > 0 в интервале (0.4,+¥) (рис. 8б). Таким образом, функция выпукла вверх в интервалах (-¥,0) и (0, 0.4), выпукла вниз в интервале (0.4,+¥), x = 0.4 является абсциссой точки перегиба, y(0.4) » -0.13 5) Вертикальная асимптота  может быть в точке разрыва  x = 0. Найдем односторонние пределы функции в этой точке. Следовательно, прямая x = 0 является вертикальной асимптотой при x ® 0 слева, при этом график функции бесконечно приближается к асимптоте, уходя в -¥ (вниз). Горизонтальных асимптот нет, так как Найдем наклонные асимптоты  по формулам (7).    Таким образом, b = -3 и прямая у = х - 3 является наклонной асимптотой при x ® ±¥.    6) Так как в точке x = 0 функция не определена и то график функции “подходит” справа к началу координат. Чтобы  найти точки пересечения графика  функции с осью Ох , решим уравнение Значит, график пересекает ось Ох при x = 2.  Построим график функции по результатам исследования, следуя схеме построения графика, описанной выше (см. рис. 9).  1) Область определения не содержит точку 0, значит, график не пересекает ось Оу.  2) Начертим асимптоту у = х - 3, вертикальная асимптота совпадает с осью Оу.  3) Наносим точки А (-2, -6.60) и В (1, -0.37), где функция достигает соответственно максимума и минимума.  4) Наносим точку перегиба D (0.4, -0.13).  5) Отметим начало координат, к которой "подходит" график слева, и точку С (2, 0) пересечения графика с осью Ох.  6) Так как то при x ® -¥ график "уходит" вниз, а при x ® +¥ - вверх.  7) Поскольку прямая у = х - 3 асимптота при x ® -¥, то проводим кривую от А влево и вниз так, чтобы она приближалась к прямой у = х - 3. При этом выпуклость направим вверх. Затем от точки А проводим кривую вправо и вниз, приближая ее к асимптоте х = 0. При этом выпуклость по-прежнему направим вверх. Соединим начало координат с точкой перегиба D "убывающей" кривой выпуклостью вверх. Соединим точку D с точкой В "убывающей" кривой выпуклостью вниз. Соединим точку В с точкой С "возрастающей" кривой выпуклостью вниз. Наконец, проводим от точки С кривую вправо и вверх выпуклостью вниз так, чтобы она приближалась к асимптоте у = х - 3.  8) Для контроля сравниваем полученный эскиз графика с результатами исследования функции. Интервалы монотонности и экстремумы, интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба эскиза графика совпадают с результатами исследования. Поведение графика на эскизе вблизи асимптот и при больших по модулю значениях переменной х согласуется с результатами исследования.  9) Для уточнения графика найдем несколько точек вблизи асимптот. y(-5) » -8.55, y(-1) » -8.15, y(6) » 3.39. Соответствующие точки на рис. 9 обозначены буквами P, Q, T . На рис. 9 приведен увеличенный фрагмент F графика, где более точно изображено поведение графика около точки перегиба D.

 

 

 

Пример 7.42   Исследуем функцию и построим её график.

1). Ясно, что  , поскольку оба сомножителя в выражении определены при любом . Область значений найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции.

2). Функция не является  ни чётной, ни нечётной; не является  она и периодической. 

3). Область определения  не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот  графика. 

4). Будем искать наклонные  асимптоты в виде  . Коэффициент найдём по формуле : при имеем

так что при асимптоты нет, причём функция стремится к при .

При имеем:

(для раскрытия неопределённости  вида  мы применили правило Лопиталя). Теперь найдём значение по формуле . Имеем:

(здесь мы применили  правило Лопиталя два раза подряд). Таким образом, и , так что при асимптота имеет уравнение , то есть совпадает с осью .

5). Точка пересечения с осью равна . Заодно нашли одну точку пересечения с осью . Чтобы найти все точки пересечения графика с осью , решаем уравнение . Поскольку , решаем уравнение , откуда получаем два корня: и . Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции: , и . Знак функции определяется множителем , поскольку при всех . Значит, при и при и при .

6). Вычислим производную: 

Интервалы возрастания задаются неравенством , то есть, с учётом того, что , неравенством . Решением этого неравенства служит множество На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале выполняется неравенство , следовательно, это интервал убывания функции. В точке возрастание сменяется убыванием, значит, точка  -- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

В точке  убывание сменяется возрастанием, значит, точка  -- точка локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково:

Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции:

Рис.7.50.Эскиз графика функции

Общая схема исследования функции и построения её графика

 

  Пример 7.37   Для функции считаем, что , хотя правая часть имеет смысл также при всех целых отрицательных .     

 

        Замечание 7.14   При исследовании некоторых функций подробное исследование области определения мы вынуждены будем пропустить или ограничиться общими рассуждениями, ввиду сложности точного решения вопроса.

Например, область определения  функции  задаётся как решение неравенства . Однако решить это неравенство "точно", то есть найти выражения через радикалы от известных чисел для точек, задающих левые и правые концы интервалов (или интервала?) области определения, по-видимому, невозможно. Можно лишь сказать, что решение будет заведомо содержать целиком луч вида при некотором ; кроме того, непосредственная проверка показывает, что точки и 0, например, принадлежат , а точка  -- нет. Более точно можно описать , найдя корни уравнения приближённо, с достаточно малой погрешностью, и исследовав знак функции между этими корнями.

Способы приближённого отыскания  корней алгебраических уравнений мы обсудим ниже, в главе 9.     

2). Особые свойства функции. Не любая функция обладает такими свойствами, как чётность либо нечётность. Функция заведомо не является ни чётной, ни нечётной, если её область определения несимметрична относительно точки 0 на оси . Точно так же, у любой периодической функции область определения состоит либо из всей вещественной оси, либо из объединения периодически повторяющихся систем промежутков.

Так что если, например, при  рассмотрении предыдущего пункта выяснилось, что область определения не обладает свойством симметричности либо периодичности, то заниматься исследованием соответствующих  особых свойств функции нет нужды.

3). Вертикальные асимптоты. Если функция  -- элементарная, то на всех интервалах области определения функция непрерывна. Значит, вертикальные асимптоты могут появиться только на границах интервалов, составляющих .

Однако не на каждой из границ этих интервалов непременно возникает  вертикальная асимптота: например, функция  имеет область определения , и единственной точкой границы служит . Однако вертикальная прямая не является вертикальной асимптотой функции, так как .

4). Наклонные и горизонтальные асимптоты. При их поиске, как и при поиске других асимптотических линий (не обязательно прямых) полезно выделить более просто, чем , устроенную главную часть функции, то есть такую функцию , что разность  -- бесконечно малая при или . Тогда график главной части и есть искомая асимптотическая линия. Если ясно, что асимптотическая линия не имеет наклонной либо горизонтальной асимптоты, то её не имеет и исходный график . Заметим, что все многочлены (при и ) не имеют асимптотических линий вида (докажите это!). Следовательно, искать в виде прямолинейные наклонные либо горизонтальные асимптоты у тех графиков, которые имеют асимптотические линии в виде графиков многочленов, в том числе у самих многочленов степени , -- дело бессмысленное: этих прямолинейных асимптот всё равно нет!

 

        Пример 7.38   Рассмотрим функцию Эта функция имеет главную часть , так как разность , очевидно, стремится к 0 при . Поэтому парабола  -- это асимптотическая линия для графика ; следовательно, прямолинейных наклонных и горизонтальных асимптот график этой функции не имеет.     

5). Нахождение точки пересечения графика с осью состоит в простом вычислении значения функции при . Нахождение же точек пересечения с осью может привести к необходимости решить сложное алгебраическое уравнение, что, быть может, удастся сделать лишь приближённо. О приближённом нахождении корней уравнений см. ниже, в гл. 9. Отыскав корни функции и точки разрыва, мы можем определить знак функции на каждом из интервалов между этими точками. Это можно сделать либо вычислив значение функции в какой-нибудь из точек интервала, либо применив метод интервалов, знакомый из школьной программы.

6). Нахождение промежутков монотонности. Для этого находят производную и решают неравенство . На промежутках, где это неравенство выполнено, функция возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство , функция убывает. Если два ннтервала возрастания (или убывания) и примыкают друг к другу в точке и функция непрерывна в этой точке , то возрастает на интервале .

Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки  локального экстремума (пользуясь теоремой 7.10 и не прибегая к теореме 7.11): там, где возрастание сменяется убыванием  располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется  возрастанием -- локальные минимумы.

7). Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости ведётся с помощью второй производной. Найдя , мы решаем неравенство . На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство , мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута).

Заодно определяем точки  перегиба как те точки, в которых  функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).

8). Нахождение точек пересечения графика с асимптотой. Этот пункт не носит столь уж обязательного характера, однако нахождение таких точек придаёт исследованию функции и построенному её графику законченность и полноту.

Заметим, что получающиеся в процессе исследования функции  точки на осях координат и на графике  полезно сразу же наносить на чертёж. Это помогает по ходу дела уяснять  вид графика. При этом дальнейшие исследования функции имеют характер уточнений полученного ранее.