Поверхности второго порядка

 

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

 

Федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение высшего 

профессионального образования «Чувашский государственный университет

имени И.Н.Ульянова»

Факультет информатики и вычислительной техники

 

Кафедра  высшей математики

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по алгебре и геометрии

на тему:

 

           “Поверхности второго порядка”

 

 

 

 

 

                                                                                           Выполнил: ст. гр.11-12

                                                                              Михайлов Олег

                Проверил:  доцент кафедры

                                                                                        высшей математики

                                                                                    Селиверстова Л.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чебоксары - 2012

 

ПОВЕРХНОСТИ  ВТОРОГО  ПОРЯДКА

Определение. В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как геометрическое место точек (г.м.т.), объединенных общим свойством.

Обозначая через x,y,z координаты произвольной точки поверхности относительно некоторой прямоугольной системы координат, выражаем посредством уравнения между x,y,z свойство, общее всем точкам данной поверхности и только им. Таким образом составляем уравнение поверхности. Переменные x,y,z – называются текущими координатами.

Обратно: всякое уравнение, связывающее переменные x,y,z определяет поверхность как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Пример: составить уравнение  сферы с центром в точке и радиусом R.

Сфера – это геометрическое место точек, равноудалённых от одной данной точки М_о на расстояние R.

Возьмём на поверхности  сферы произвольную точку С (x,y,z).  Расстояние от точки С до точки М равно R, следовательно, .

,

то есть

или  .

Полученное уравнение – это  уравнение сферы с центром  в точке  радиуса R.

Раскроем скобки, получим

.

Итак, уравнение сферы – это уравнение второй степени относительно x,y,z. Но не всякому уравнению второй степени соответствует сфера в пространстве.

Очевидно, что уравнение сферы должно иметь одинаковые коэффициенты при квадратах переменных и не должно содержать произведения переменных. То есть уравнение имеет вид

.

Выделив полные квадраты, получим

.

Это уравнение может быть уравнением сферы только в случае, если

.

Итак, уравнение второго порядка, в котором

1. коэффициенты при x²,y²,z² равны,
2. отсутствуют члены ,
3. свободный член ,

 определяет сферу  с центром в точке  и радиусом  .

Например: Уравнение  определяет сферу

 

 с центром в точке (2,- 4,0) и радиусом 5.

Определение. Всякую линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей и .

Пример: результатом пересечения  сферы  и плоскости

  является линия  ,

 то есть на плоскости   получится окружность  .

Поверхности разделяются по их уравнениям на алгебраические и трансцендентные.

Уравнение алгебраической поверхности может быть приведено  к виду , где F – целый многочлен относительно x,y,z.

Среди алгебраических поверхностей рассмотрим основные типы цилиндрических, конических поверхностей и поверхности вращения.

 

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

Определение. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой (называемой образующей), остающейся параллельной некоторой данной прямой и пересекающей данную линию Z (называемую направляющей).

                                                                         

Рис.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть направляющая определяется уравнениями  

                                    и ,  (1)

 а   m, n, p – координаты направляющего вектора образующей цилиндрической поверхности. Канонические уравнения образующей имеют вид    

                                  ,  (2)

 где  x, y, z – текущие координаты, X,Y,Z – координаты точки, принадлежащей направляющей.

Исключая  X, Y, Z  из четырёх уравнений (1) и (2), получим искомое уравнение цилиндрической поверхности.

Рассмотрим частный  случай. Пусть уравнение поверхности не содержит одной из переменных, для определённости  z , то есть  .

На плоскости  Oxy это уравнение определяет некоторую кривую линию L.

В пространстве этому  уравнению удовлетворяют все те точки пространства, первые две координаты которых совпадают с координатами линии  L , то есть те точки пространства, которые проектируются на плоскость Oxy  в точки линии L. Совокупность всех точек есть прямая параллельная оси Oz, проходящая через точку . Следовательно, совокупность всех точек, удовлетворяющих уравнению , есть поверхность, описываемая прямой, параллельной оси Oz  и пересекающих линию L,  то есть цилиндрическая поверхность.

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2

Аналогично, – уравнение цилиндрической поверхности, образующая которой параллельно оси Oy;  - уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Ox.

Перечислим прямые цилиндры  с  образующей, параллельной оси  Oz:

1)     – эллиптический цилиндр с направляющей – эллипсом  в  плоскости  Oxy. Частным случаем эллиптического цилиндра является прямой круговой цилиндр, то есть  .

Рис 3.

2)    - гиперболический цилиндр с направляющей – гиперболой плоскости  Oxy.

Рис.4

3)    - параболический цилиндр с направляющей – параболой в плоскости Oxy.

Рис.5

КОНИЧЕСКИЕ  ПОВЕРХНОСТИ

Определение. Конической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой (образующей конуса), проходящей через данную точку (вершину конуса) и пересекающей данную линию (направляющую конуса).

Рис.6

Пусть направляющая задана уравнениями

    и       (1)

вершиной является точка M_o(x_o,y_o,z_o).

Канонические уравнения образующей конуса, проходящей через точку М_о  и точку М(X,Y,Z), лежащую на направляющей, имеют вид:

                      .     (2)

Исключая из (1) и (2)  X,Y,Z,  получим искомое уравнение конической поверхности.

Пример 1. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат и направляющей           , .

Образующая имеет канонические уравнения

, то есть  .

Исключая X,Y,Z из уравнений

 

                                       ,

                                                       ,

                                            

получим уравнение эллиптического конуса:    .  (3)

Рис.7

 

Пример 2.  Составить уравнение конуса с центром в начале координат и направляющей      , .

Образующей искомого конуса является прямая:

.

Исключая X,Y,Z  из уравнений направляющей и образующей, получим уравнение   или .

Обратим внимание, что полученное уравнение совпадает с уравнением (3).

Этот же конус можно получить, взяв в качестве направляющей параболу. Объясняется это сечениями конуса различными плоскостями. Подробнее об этом ниже.

 

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Составить общее представление  о большинстве поверхностей второго порядка можно, рассматривая поверхности вращения.

Определение. Поверхностью вращения вокруг оси d называется поверхность, каждое сечение которой, перпендикулярное оси d, является окружностью с центром, лежащим на этой оси.

Рассмотрим линию L, которая вместе с осью d лежит в плоскости Р. Будем вращать эту линию вокруг оси, при этом каждая точка линии опишет окружность, а вся линия L опишет поверхность вращения.

Введём систему координат. Выберем  начало прямоугольной декартовой системы  координат на оси d, ось Oz направим вдоль оси d, ось Ox поместим в плоскости P перпендикулярно оси Oz. Допустим, что линия L имеет в этой системе координат уравнение . Выведем уравнение поверхности вращения этой линии вокруг оси Oz. Для этого выберем на поверхности произвольную точку M(x,y,z). Расстояние от неё до оси Oz равно . Через точку М проходит окружность, описываемая при вращении некоторой точки плоскости Р. Обозначим эту точку М_о, а её координаты в системе Oxz  (x_o,y_o)   (в системе Oxyz она будет иметь координаты (x_o,0,z_o)), очевидно что , .

Точка М лежит на поверхности вращения тогда и только тогда, когда на ней лежит точка М_о, а, следовательно, и симметричная с ней относительно оси Oz точка . Чтобы точки М_о и лежали на поверхности, необходимо и достаточно, чтобы координаты хотя бы одной из них удовлетворяли  уравнению линии L, то есть чтобы . Получим условие для координат точки  

М .        (1)

Это и есть уравнение поверхности  вращения линии L вокруг оси Oz.

Случай, когда уравнение (1) не имеет вещественных решений, не исключается. В этом случае говорят  о мнимой поверхности.

 

Эллипсоид

Рассмотрим поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг осей симметрии.

 Пусть в плоскости Oxz задан эллипс (здесь через с обозначена малая полуось). Будем вращать его вокруг осей Ox и Oz. В силу формулы (1) уравнения соответствующих поверхностей вращения

,  (2)

.  (3)

 

 

Рис.8

 

Поверхности (2) и (3) называются сжатым и вытянутым эллипсоидами вращения.

Каждую точку    на эллипсоиде вращения (2) сдвинем к плоскости Oxz так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех точек отношении <1. После сдвига точка М совпадёт с точкой , координаты которой определяются равенствами , , . Таким образом, все точки эллипсоида вращения (2) переходят в точки поверхности с уравнением  

, где  .  (4)

 

Рис.9

Поверхность, которая  в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение (4), называется эллипсоидом.

Уравнение          (5)

называется каноническим уравнением эллипсоида.

Чтобы представить себе форму произвольного эллипсоида, проще всего изучить его сечениями, параллельными координатным плоскостям.

Рассмотрим сечения эллипсоида (5) плоскостью , параллельной координатной плоскости Oxy. Линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями

    .

Легко заметить, что плоскость  при

1)  >c  не пересекает эллипсоид (5),

2)  =с имеет с эллипсоидом (5) единственную общую точку ((0,0,с) при h=c  и (0,0,-с) при h=-c),

3)  <c   пересекает эллипсоид (5) по эллипсу с полуосями

;   ;  a^* и b^*  принимают наибольшие значения a и b при h=0 и монотонно уменьшаются до нуля, когда возрастает от нуля до с.

Рис.10

Аналогично рассматриваются  сечения эллипсоида (5) плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и  Oyz. Величины a,b,c называются полуосями эллипсоида.

 Из уравнения (5) видно, что начало координат - центр симметрии для эллипсоида, а координатные плоскости – его плоскости симметричны.