Подобие треугольников в решении задач и доказательстве теорем

Ярославская средняя общеобразовательная школа 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РАБОТА  ПО МАТЕМАТИКЕ 

«ПОДОБИЕ  ТРЕУГОЛЬНИКОВ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ  И ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ТЕОРЕМ» 
 
 
 
 
 

Выполнил  ученик 11 класса Поезжаев Антон 

Руководитель  учитель математики Маликова Татьяна  Евгеньевна 
 
 
 
 
 
 

Ярославка 2005г.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Из истории подобия_________________________________3
2. Основная часть_____________________________________6

 

2.1 Развитие темы  в учебнике Атанасяна Л. С.  «Геометрия 7 -9»___6

2. Дополнительные свойства, используемые при решении задач_11

2.3 Олимпиадные  задачи__________________________________14

2.4 Экзаменационные  задачи_______________________________16

3. Заключение__________________________________________19

4. Литература________________________________________20 

ИЗ  ИСТОРИИ ПОДОБИЯ

Отношение и Пропорциональность отрезков.

     Идея  отношения и Пропорции зародилась в глубокой древности. Об этом свидетельствуют  древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса и знаменитых пирамид в  Гизе (III тысячелетие до н. э.), вавилонские зиккураты (ступенчатые культовые башни), персидские Дворцы, Индийские и другие Памятники древности, Многие обстоятельства. В том числе особенности архитектуры, требования Удобства, Эстетики, техники и экономичности при возведении зданий и сооружений, вызвали возникновение и развитие понятий отношения и пропорциональности отрезков, площадей и других величин.

    В «Московском» папирусе при рассмотрении, отношения большего катета к меньшему в одной из задач на прямоугольный  треугольник применяется специальный  знак для понятия «отношение».

     В «Началах» Евклида учение об отношениях излагается дважды, В VII книге содержится арифметическая теория. Она относится только к соизмеримым величинам и к целым числам. Эта теория создана на основе практики действия с дробями. Евклид применяет ее для исследования свойств целых чисел. В V книге излагается общая теория отношений и пропорций, разработанная Евдоксом. Она лежит в основе учения о подобии фигур, изложенного в VI книге «Начал».

О  делении  отрезка  в  данном  отношении

   В VI книге «Начал» Евклид так решает задачу о делении отрезка в данном отношении.

   Задача 18. «Пусть (рис. 1) требуется рассечь отрезок \AВ\ в отношении, представленном данными тремя отрезками».

   Решение. Строим угол ВАС и откладываем на стороне |AС| данные три отрезка: |AD|, \DE\, \EC\. Соединив С и В, проведем через точки Е и D отрезки \ЕН\ и |DJ| , параллельные \ВС\. На основе теоремы о пропорциональности отрезков, образующихся на прямых, пересеченных параллельными прямыми, получаем:

\AJ\ : \JH\ :  \НВ\  = \AD\ : \DE\ : |EС|.

 

   Симон Стевин дал следующий способ деления  отрезка АВ на равные части (рис. 2).

   На  прямой (MN), параллельной (АВ), откладываем заданное число, допустим шесть равных между собой отрезков:

\MD\ = \DF\= \FH\ = |HK|   =\KL\  =\LN\.

   Соединим  М с A, N с В и продолжим до пересечения в точке Р. Теперь соединяем точку Р с D, F, H, K, L. В пересечении прямых соединения с отрезком \АВ\ и получим искомые точки деления: D`,  F`,  H`, K`, L`. 

 
 
 
 

Рис.1. 

Рис. 2.

 

О    подобии

   Одинаковые  по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

   Пропорциональность  отрезков, образующихся на прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя некоторые приписывают это открытие Фалесу Милетскому. До наших дней сохранилась клинописная табличка, в которой речь идет о построении пропорциональных отрезков путем проведения в прямоугольном треугольнике параллелей к одному из катетов.

    Учение о  подобии фигур на основе теории отношений  и пропорции было создано в Древней Греции в V—IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Ар хита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида, начинающиеся следующим определением: «Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».

«Деление в данном отношении» Аполлония

   Одним из величайших геометров Древней Греции был Аполлоний Пергский, живший в III—II вв. до П. в. Математике он учился в Александрии. Его учителями были ученики Евклида.

    В знаменитом произведении Аполония «Конические сечения» изложено учение о фигурах, получаемых при сечении плоскостью полного конуса (рис. 3), — эллипсе, параболе, гиперболе.

   Сохранилось еще одно из многих произведений Аполлония: «О делении в данном отношении». В нем Среди других рассматривается следующая задача.

   Задача 19. «Прямой, проходящей через данную точку H, требуется отсечь на двух пересекающихся прямых (ОР) и (OQ) (рис. 4) два отрезка \ОМ\ и \ON\> находящихся в данном отношении т : n». 

     ПОДОБИЕ ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ

    В школьном курсе геометрии рассматриваются различные преобразования плоскости и пространства: осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот вокруг данной точки, гомотетия. Вводится понятие равных треугольников, и при решении задач широко используются признаки равенства треугольников.

     Не  меньшую роль при доказательстве теорем и решении задач играют признаки подобия треугольников.

 

     

      Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

     Если  треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C₁, то углы А,В и С равны соответственно углам A₁,B₁ и C₁, AB_/A₁B₁ =BC/B₁C₁ =CA/A₁C₁=k.

     Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. 

 
 

     Очень важна для решения задач теорема  "Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия "

Ну, и, наконец, три признака подобия:

     1)Если  два угла одного  треугольника соответственно  равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

2)Если две стороны одного треугольника

пропорциональны двум сторонам другого  треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. 

 
 

 

3)Если три стороны одного треугольника

пропорциональны     трём     сторонам     другого,     то     такие треугольники подобны.

МЕТОД ПОДОБИЯ

     «Метод  подобия» при решении геометрических задач на построение заключается  в следующем. Пусть даны некоторые  элементы фигуры: величины углов или сами углы, её линейные элементы (отрезки или их длины, а может быть, сумма некоторых линейных    элементов)    и,    возможно,    отношения    некоторых

линейных  элементов, т.е. одни данные определяют форму искомой фигуры, а другие - линейные - определяют её размеры. Тогда, используя углы (или их величины) или отношения линейных элементов, строят фигуру, подобную искомой, выбрав коэффициент подобия k равным отношению соответствующих линейных элементов, затем, используя остальные данные, строят искомую фигуру.

Гомотетия.

    Гомотетия - один из видов преобразования плоскости и пространства. Гомотетией с центром в точке О и коэффициентом k≠0 называется такое отображение множества точек плоскости на себя, при котором всякая точка М отображается в точку М` такую, что выполняется векторное равенство: ОМ'= к∙ОМ. Аналогично гомотетия определяется и для трёхмерного пространства. Гомотетия при k > 1 означает как бы «растяжение» всей плоскости от точки О - центра гомотетии. Если коэффициент гомотетии k положительный, но меньше единицы, то гомотетия есть «сжатие»

плоскости к  точке О. Если к = 1, гомотетия есть тождественное преобразование (отображение) плоскости на себя.

     Если  коэффициент гомотетии к = -1, то гомотетия  есть центральная симметрия с центром симметрии в точке О. Отметим другие свойства гомотетии. Любая прямая при гомотетии отображается на параллельную прямую, совпадающую или не совпадающую с первой прямой; всякий отрезок АВ отображается на параллельный отрезок А'В' так, что отношение их длин равно коэффициенту k: I A' B' I: I AB I = k. В преобразовании гомотетии центр гомотетии отображается на себя, т. е. остаётся неподвижной точкой.

    Множество гомотетий с общим центром  представляет собой группу преобразований. Гомотетия есть частный случай более  общего преобразования – подобия. Гомотетия может задаваться по-разному: центром и коэффициентом гомотетии; центром и двумя соответственными точками; двумя парами соответственных точек А и А', В и В'. Всякая окружность при гомотетии отображается на окружность, при этом центр одной из них переходит в центр другой.

    Гомотетия используется при копировании фигур  с помощью пантографа, при съёмках  плана на местности, при фотографировании, при решении задач на построение (метод гомотетии).

Применение  подобия к доказательству теорем.

    Подобие используется при доказательстве теоремы о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Доказательство. Пусть MN– средняя линия треугольника ABC. Докажем, что MN//AC и MN = ½ АС

Треугольники  BMN и ВАС подобны по второму признаку подобия треугольников (угол B – общий) ВМ/ВА = BN/BC = ½ ), поэтому углы 1 и 2 равны и MN/AC = ½ . из равенства углов 1 и 2 следует, что MN//AC, а из второго равенства, что MN = ½ АС

Пользуясь данной теоремой, можно решить следующие задачи:

     Задача 1. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

     Решение. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан AA₁ и BB₁ и проведём среднюю линию A₁B₁ ,этого треугольника. Отрезок A₁B₁ параллелен стороне АВ, поэтому углы 1 и 2, 3 и 4 равны. Следовательно, 
треугольники АОВ uA₁OB₁ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны: AO/A₁O = BO/B₁O = AB/A₁B₁. Но АВ = 2А₁В₁, поэтому АО = 2A₁O и ВО = 2B₁O. Таким образом, точка О пересечения медиан AA₁ и BB₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.