Площадь плоской фигуры

БГОУ СПО  ДТК

 

 

 

 

 

 

Реферат по математике

Тема: «Площадь плоской фигуры.»

 

 

 

 

Выполнил: студент 26 группы

Сырчин А. С.

Проверила: преподаватель по математике

Тюрина Е. С.

 

 

 

 

 

Дзержинск

2012

 

Содержание

1. Примечание
2. Свойства
3. Единицы измерения площади

1. Метрические единицы
2. Русские устаревшие
3. Античные

4. Площади плоских фигур

1. Декартовы координаты
2. Полярные координаты

5. Пример решения задач

6. Литература

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примечание

Площадь —  численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры, неформально говоря, показывающая размер этой фигуры.

 

Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

 

Общий метод  вычисления площади геометрических фигур предоставило интегральное исчисление. Обобщением понятия площади стала  теория меры множества, пригодная для  более широкого класса геометрических объектов.

 

Для приближенного  вычисления площади на практике используют палетку или специальный измерительный  прибор — планиметр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства:

• Площадь единичного квадрата равна 1.
• Площадь аддитивна.
• Площадь неотрицательна.
• Площади конгруэнтных фигур равны.

Для фигур  на плоскости, не состоящих из целого количества единичных квадратов, а  также для искривлённых трёхмерных поверхностей, площадь определяется с помощью предельного перехода; при этом требуется, чтобы как  фигура, так и её граница были кусочно-гладкими.

Единицы измерения площади

• Метрические единицы:
• Квадратный километр, 1 км² = 1 000 000 м²
• Гектар, 1 га = 10 000 м²
• Ар (сотка), 1 а = 100 м²
• Квадратный метр, производная единица системы СИ 1 м² = 1 са (сантиар)
• Квадратный дециметр, 100 дм² = 1 м²;
• Квадратный сантиметр, 10 000 см² = 1 м²;
• Квадратный миллиметр, 1 000 000 мм² = 1 м².

Русские устаревшие:

• Квадратная верста = 1,13806 км²
• Десятина = 10925,4 м²
• Копна = 0,1 десятины — сенные покосы мерили копнами
• Квадратная сажень = 4,55224 м²

Античные:

• Арура

 

 

 

 

 

 

 

Площадь плоской фигуры

Декартовы координаты:

Площадь, заключённая  между графиком непрерывной функции  на интервале [a, b] и горизонтальной осью, может быть вычислена как определённый интеграл от этой функции:

Площадь, заключённая  между графиками двух непрерывных  функций f(x), g(x) на интервале [a, b]  находится как разность определённых интегралов от этих функций:

Полярные координаты:

В полярных координатах: площадь, ограниченная графиком функции  и лучами  вычисляется по формуле:

 

Рассмотрим плоскую фигуру, представляющую собой множество точек плоскости лежащих в полосе между прямыми x = a, x = b и ограниченное сверху графиком непрерывной функции y = f(x) и снизу графиком непрерывной функции y = g(x) . Причем f(x) > g(x) на промежутке (a; b) и f(a) = g(a), f(b) = g(b).

 

Примеры решения задач

Вычислить площадь  фигуры, ограниченной линиями y=x²+2, y=0, x=-2, x=1.

Это типовая  формулировка задания. Первый и важнейший  момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить  ПРАВИЛЬНО. 

При построении чертежа я рекомендую следующий  порядок: сначала лучше построить  все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики  других функций. Графики функций  выгоднее строить поточечно, с техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций. Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

Выполним  чертеж (обратите внимание, что уравнение  задает ось ):

Штриховать  криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади  идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке [-2;1] график функции y=x²+2  расположен над осью , поэтому:

Ответ: S = 9 ед²

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

• http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=212216
• http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%EB%EE%F1%EA%E0%FF_%F4%E8%E3%F3%F0%E0
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 с. — ISBN 5-9221-0155-2
• http://www.tutoronline.ru/blog/plowadi-ploskih-figur.aspx
• http://www.mathprofi.ru/vychislenie_ploshadi_c_pomoshju_opredelennogo_integrala.html