Основные свойства непрерывных функций. Теорема Больцано-Коши и Вайерштрасса о непрерывной на отрезке функции. Непрерывность в экономике

В соответствии с этим можно  допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

• если  , то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке a;
• если  , то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке a.

Односторонняя непрерывность

 

Функция f называется односторонне непрерывной слева (справа) в каждой точке x₀ её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство :  ( )

Непрерывность почти всюду

 

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция f такова, что она непрерывна всюду на E, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество  точек разрыва функции не более  чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману)

 

Непрерывность по отдельным переменным.

 

Зафиксируем переменную  , полагая  , а переменной   придадим произвольное приращение  . Функция   получит приращение

,

которое называется частным приращением функции в точке  , соответствующим приращению   аргумента  . Заметим, что   является функцией одной переменной  . Аналогично,

.         

Определение. Функция   называется непрерывной в точке   по переменной   (по переменной  ), если

 ( ).         

В отличие от непрерывности по отдельным  переменным обычную непрерывность  функции называют иногда непрерывностью по совокупности переменных.         

Теорема 3. Если функция   определена в некоторой окрестности точки   и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.         

Обратное утверждение неверно.         

Пример. Докажем, что функция

непрерывна в точке   по каждой переменной   и  , но не является непрерывной в этой точке по совокупности переменных.

 Рассмотрим частное приращение функции   в точке  , соответствующее приращению   аргумента  :

.

Очевидно, что  , а это означает, что   непрерывна в точке   по переменной  .         

Аналогично можно доказать непрерывность   в точке   по переменной  .         

Покажем, что предел   не существует. Пусть точка   стремиться к точке  по прямой  , проходящей через точку  . Тогда получим

.         

Таким образом, приближаясь к точке   по различным прямым, соответствующим разным значениям  , получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке   не существует, а значит, функция   не является непрерывной в этой точке.

 

 

Теорема Больцано — Коши

была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.

Формулировка

Пусть дана непрерывная функция на отрезке   Пусть также   и без ограничения общности предположим, что f(a) = A < B = f(b). Тогда для любого   существует   такое, что f(c) = C.

Следствия

• (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция принимает в концах отрезка положительное и отрицательное значение, то существует точка, в которой она равна нулю. Более точно пусть   и f(a)f(b) < 0. Тогда   такое, что f(c) = 0.
• В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль;

 

Теоре́ма Вейерштра́сса  

в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани.

Формулировка

 

 

Пусть дана непрерывная числовая функция, определённая на отрезке, то есть   и  . Пусть

— точные верхняя и нижняя грани множества значений функции f соответственно. Тогда эти значения конечны ( ) и достигаются (существуют   такие, что  ).

 

Обобщения

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций

• Пусть функция   полунепрерывна сверху. Тогда

 и 

• Пусть функция   полунепрерывна снизу. Тогда

 и 

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компакте

Пусть дано топологическое пространство   и компактное подмножество  . Пусть дана непрерывная функция  . Тогда

и

 

 

Экономический смысл непрерывной

Экономический смысл непрерывной функции заключается  в том, что при малом изменении  значений факторов зависящий от них  показатель изменяется незначительно. В качестве примера непрерывных  функций в условиях стабильной экономики  можно привести спрос и предложение  на рынке товаров (как функций  от цен товаров), прибыль предприятия (как функции от объемов выпуска  и затрат), рентабельность производственных фондов (как функция от прибыли, стоимости  основных фондов и оборотных средств) и так далее. Напротив, зависимость  курса валют или ценных бумаг  от политических или социальных факторов нельзя назвать непрерывной.

Хотя  непрерывность экономических величин  и является желательным свойством (с точки зрения предсказуемости, описуемости, управляемости), но в экономике имеют место и "сугубо" разрывные функции. Такова, например, величина денежного потока, как функция от времени: на одном отрезке времени - это положительная величина (приток денег), на следующем отрезке времени - отрицательная (отток денег).

 

Заключение

 

Непрерывная функция вообще говоря, — синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее, чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой.

 

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ, часть I — М.: Физматлит, 1984.
• Практикум по высшей математики для экономистов ,под редакцией 
  Н.Ш.Кремера. 2004.
• Белько И. В., Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2002. – 140 с.
• Гусак А. А.. Математический анализ и дифференциальные уравнения.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.