Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

«Нижегородский  государственный лингвистический  университет

  имени Н.А. Добролюбова»

Владимирский  филиал

 

 

Реферат

по  дисциплине «Математика и статистика»

на тему: “Основные понятия, методы и приемы математической статистики”

 

                                                                   

                                                                                                                Выполнила

                                                                                                  студентка 1-го курса

                                                                                                         Смирнова И.А.

                                                                                                                 Проверил                             

                                                                                                           Плеханов А.А.

                                                                    

                                                                   

 

Владимир 2011

Содержание.     

                                                                                                                          Лист                                                             

Введение……………………………………………………………………    2

1. Задачи математической статистики……………………………………      3

2. Математическая статистика. Основные понятия………………….....      4

2.1. Генеральная и выборочная совокупности………………………….      4

2.2. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка..     5

2.3. Способы отбора……………………………………………………….     6

2.4. Статистический ряд, полигон частот и гистограмма………………      9

2.5. Статистические гипотезы………………………………………..     12

 

2.6. Критерий Пирсона (хи-квадрат)………………………………..    14

2.7. Линейная корреляция…………………………………………………   22

 

Заключение…………………………………………………………………   31

 

Список литературы…………………………………………………………  32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Математическая  статистика – это раздел математики, который изучает методы сбора, систематизации, обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений.

Историю статистики как науки о  статистических выводах обычно начинают с забавного эпизода, изложенного  Ж. Бертраном в предисловии к  его курсу «Исчисление вероятностей»: « Однажды в Неаполе преподобный Голиаци увидел человека из Базиликаты, который, встряхивая 3 игральные кости в чашке, держал пари, что выбросит 3 шестерки… Вы скажете, такая удача возможна. Однако человеку из Базиликаты это удалось во второй раз, и пари повторилось. Он клал кости назад в чашку 3,4,5 раз и каждый раз выбрасывал 3 шестерки. «Черт возьми,- вскричал преподобный, - кости налиты свинцом!» И так оно и было».

Здесь в шутливой форме дан типичный пример статистического вывода: если бы кости были симметричны, то наблюдаемое  событие (5 раз подряд выпали 3 шестерки) имело бы ничтожно малую вероятность (1/6⁸)⁵=4,71∙10¹¹ и, поскольку в эксперименте наблюдалось такое событие, вполне логично сделать вывод, что априорная модель (симметричность костей) ложна.

Первыми крупными работами, относящимися к математической статистике, были исследования Я. Бернулли и П. Лапласа. К. Гаусс разработал теорию ошибок наблюдений. Научное обоснование закономерностей  случайного рассеивания связано  с именами русских математиков  П.Л. Чебышева, А.А. Маркова и А.М. Ляпунова, значительно углубивших результаты известных к тому времени классических исследований.

Ряд важнейших современных понятий  и методов, оказавших большое  влияние на развитие современной  теории математической статистики, предложил  Р.Фишер (метод максимума правдоподобия, дисперсионный анализ, понятия состоятельности, достаточности, эффективности и  др.). Систематическое развитие теории проверки статистических гипотез началось с работ К. Пирсона по критерию хи-квадрат. Основной вклад в построение этой теории внесли Ю. Нейман и Э. Пирсон, которые ввели понятия ошибок первого и второго рода и показали общность и значение метода отношения правдоподобия для построения критериев. Общая теория статистических решающих функций, охватывающая как теорию проверки статистических гипотез, так и теорию оценивания, создана А. Вальдом.

Большую роль в развитии математической статистики сыграли работы Г. Крамера, Э. Лемана, С. Рао, М. Кендалла, А. Стьюарта, С. Уилкса, а также советских ученых А.Н. Колмогорова, Б.В. Гнеденко, Ю.В. Линника, Е.Е. Слуцкого, Н.В. Смирнова, В.И. Романовского, Л.Н. Большева, Ю.В. Прохорова и др.

Математическая статистика-это  непрерывно и интенсивно развивающаяся  наука.

Задачи математической статистики.

Установление закономерностей, которым  подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных –  результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики – указать способы сбора и  группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики – разработать методы анализа  статистических данных в зависимости  от целей исследования. Сюда относятся:

а) оценка неизвестной вероятности  события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

б) проверка статистических гипотез  о виде неизвестного распределения  или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения  числа необходимых испытаний  до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи.

Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора  и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

 

Математическая  статистика. Основные понятия.

Генеральная и выборочная совокупности.

 

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется  партия деталей, то качественным признаком  может служить стандартность  детали, а количественным – контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное обследование, т.е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое  число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано  с его уничтожением или требует  больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью или  просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых  производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или  генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной  совокупности N=1000, а объем выборки n=100.

Замечание. Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений, или для облегчения теоретических выводов, допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки.

 

Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка.

 

При составлении выборки можно  поступать двумя способами: после  того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии со сказанным выборки подразделяют на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того чтобы по данным выборки  можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной  совокупности, необходимо, чтобы объекты  выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции  генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка  должна быть репрезентативной (представительной).

В силу закона больших чисел можно  утверждать, что выборка будет  репрезентативной, если ее осуществить  случайно: каждый объект выборки отобран  случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют. Если объем  генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и  бесповторной выборкой стирается; в  предельном случае, когда рассматривается  бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.

 

Способы отбора.

 

На практике применяются различные  способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:

1. Отбор, не требующий расчленения  генеральной совокупности на  части. Сюда относятся: а) простой  случайный бесповторный отбор;  б) простой случайный повторный  отбор.

2. Отбор, при котором генеральная  совокупность разбивается на  части. Сюда относятся: а) типический  отбор; б) механический отбор;  в) серийный отбор.