Определённый интеграл

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [а, b], а<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а=x0<x1<x2<…<xn=b.

Обозначим это разбиение через , а точки x0, x1, x2, …, xn, будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков [хi-1, хi] выберем произвольную точку i(хi-1iхi). Через хi - обозначим разность хi-хi-1 которую будем называть длиной частичного отрезка [хi-1, хi]. Составим сумму: , которую назовём интегральной суммой для функции f(x) на [a; b], соответствующей данному разбиению [a; b] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек i.

Геометрический смысл суммы  сумма площадей прямоугольников с основаниями x1, x2, …, xn и высотами f(1), f(2),…, f(n), если f(x)0.

Определение 1: Если существует конечный предел I интегральной суммы при (0 – наибольшая из длин всех частичных промежутков) хi0, то этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [а, b].