Обработка экспериментальных и экспертных данных

Задача. Получены данные о поступление сборочных единиц в оборотный фонд зоны ремонта предприятия в течении 30 дней по вариантам (табл. 1).

Выполнить:

1. Расположите данные в возрастающем порядке (т.е. запишите ранжированные варианты).

2. Определите 25-й, 50-й и 90-й перцентили, нижний, средний и верхний квартили.

3. По ранжированным данным составьте дискретный вариационный ряд распределения частот.

4. Составьте дискретный вариационный ряд частостей.

5. Составьте интервальный вариационный ряд частот.

6. Постройте полигон дискретного вариационного ряда частот.

7. Постройте гистограмму, кумуляту и огиву интервального вариационного ряда частот.

8. Вычислите моду для дискретного вариационного ряда частот.

9. Найдите медиану и моду для интервального вариационного ряда частот.

10. Рассчитайте среднее число поступления сборочных единиц для дискретного и интервального рядов.

11. Найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа поступивших сборочных единиц.

12. Вычислите коэффициент вариации.

Вариант №4

Таблица 1

mi	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
xi	14	7	15	8	9	14	23	15	13	14	16	21	15	17	27
mi	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
xi	15	16	16	19	21	23	17	13	15	14	9	11	8	15	19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Ранжируем данные:

7;8;8;9;9;11;13;13;14;14;14;14;15;15;15;15;15;15;16;16;16;17;17;19;19;21;21;23;23;27.

 

2) Определим 25-й, 50-й и 90-й перцентили для этого вариационного ряда.

Для определения 25-ого перцентиля необходимо сначала найти его  позицию в вариационном ряду:

 

По определению Р - перцентиля имеем:

 

Эта позиция находится  между седьмым и восьмым вариантами. Седьмой по порядку вариант равен 13, и восьмой 13. Значит 25-й перцентили равен 13.

Для того, чтобы найти 50-й  перцентиль, мы должны определить значение варианта, соответствующего позиции:

 

Среди ранжированных вариантов  значение 15-ого по порядку варианта равно 15 и 16-ого равно 15, следовательно 50-й перцентиль равен 15.

Имеем:

Аналогично определим 90-й  перцентиль ( как значение варианта, соответствующего позиции:

 

 

Значение 27-ого равно 21, а 28-го равно 23. Следовательно, расстояние от 21 до 90 перцентиля составляет 0,9 от длины  отрезка между 21 и 23 (длина равна 2). Итак

Первый (нижний) квартиль – это 25-й перцентиль, т.е. значение признака в вариационном ряду, слева от которого лежит  ¼ (или 25%) всех вариантов.

Второй (средний) квартиль – это 50-й перцентиль, он же медиана ()

Третий (верхний) квартиль – это точка, слева от которой находится ¾ (или 75%) вариантов ряда. Сначала определим позицию, которой соответствует эта точка:

 

Значит значение верхнего квартиля равно 17,5.

 

3) По ранжированным данным составим дискретный вариационный ряд распределения частот:

В исходных данных  8; 9; 13; 14; 15; 16; 17; 19; 21; 23 повторяются. Тогда вариационный ряд можно представить в виде табл. 2.

Таблица 2

Значение признака (xi)	7	8	9	11	13	14	15	16	17	19	21	23	27
Число дней  (mi)	1	2	2	1	2	4	6	3	2	2	2	2	1

В полученном ряду k = 13, а .

4)  Составим  дискретный вариационный ряд  частостей.

Запишем дискретный вариационный ряд частостей числа поступивших сборочных единиц в оборотный фонд зоны ремонта предприятия в течение 30 дней.

Таблица 3

(xi)	7	8	9	11	13	14	15	16	17	19	21	23	27
(Wi)	0,03	0,07	0,07	0,03	0,07	0,12	0,2	0,1	0,07	0,07	0,07	0,07	0,03

 

5) Составим интервальный  вариационный ряд частот.

 и число интервалов

Находим ширину интервалов разбиения  (k_i):

 

Теперь построим вариационный ряд границ интервалов группирования без корректировки границ первого и последнего интервалов.

Таблица 4

Интервалы	[7;10,5]	(10,5;14]	(14;17,5]	(17,5;21]	(21;24,5]	(24,5;28]
(mi)	5	7	11	4	2	1

 

Для того, чтобы x₁ и x_n попали внутрь первого и последнего интервалов группирования, начало (нижнюю границу) первого интервала рекомендуется брать как

 

 

Сгруппированный вариационный ряд  с корректировкой границ первого и последнего интервалов представим в виде табл. 5:

Таблица 5

Интервалы	[5,25;8,75]	(8,75;12,25]	(12,25;15,75]	(15,25;19,25]	(19,25;22,75]	(22,75;26,25]	(26,25;29,75]
(mi)	3	3	12	7	2	2	1

 

6)  Построим  полигон дискретного вариационного  ряда частот. (см. табл. 2)

Для построения полигона распределения  дискретного вариационного ряда на оси абсцисс откладываем варианты, а на оси ординат – частоты или частости. Полученные точки на их пересечении соединяют отрезками.

Рисунок 1 – Полигон распределения числа поступления сборочных единиц для дискретного вариационного ряда.

7) Построим гистограмму, кумуляту и огиву интервального вариационного ряда частот.

При построении гистограммы  частот для ряда по данным табл. 4 на оси абсцисс откладывают не точки, а отрезки, изображающие интервалы, а вместо ординат, соответствующих частотам определенных вариантов, строят прямоугольники высотой, пропорциональной частотам интервалов.

 

 

 

Рисунок 2 – Гистограмма интервального вариационного ряда (см. табл. 4).

Предварительно для построения кумуляты интервального вариационного ряда по данным табл.5 запишем накопленные частоты в восходящем порядке, т.е. вариационный ряд преобразуется в кумулятивный (табл.1.5):

Таблица 6

Интервалы	Частоты (mi)	Накопленные частоты (νi)
[5,25;8,75]	3	3
(8,75; 12,25]	3	6
(12,25; 15,75]	12	18
(15,25; 19,25]	7	25
(19,25; 22,75]	2	27
(22,75; 26,25]	2	29
(26,25; 29,75]	1	30

На оси абсцисс прямоугольной  системы координат откладываются  значения признака, а на оси ординат  – накопленные частоты. Строим точки, координатами которых являются верхние  границы интервалов (абсциссы) и соответствующие накопленные частости (ординаты). Нижней границе первого интервала соответствует ордината, равная нулю. Полученные точки соединяются отрезками прямой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3 – Кумулята интервального вариационного ряда частот по данным табл. 6

Рисунок 4 – Огива интервального ряда частот по данным табл. 6

 

8) Вычислим  моду для дискретного вариационного  ряда частот.

Мода дискретного  ряда (см. табл. 2) равна 15. Значение признака, равное 15, встречается

наиболее часто (соответствующая ему наибольшая частота равна 6). Следовательно, М₀= 15.

 

9) Найдем медиану и моду для интервального вариационного ряда частот.

Определим моду для интервального ряда (см. табл. 4). Модальный интервал 14-17,5, так как ему соответствует наибольшая частота 11.

Далее вычисляем M_о по формуле:

                                                      

где                                                  

_Тогда:

 

При нахождении медианы для  интервального вариационного ряда (см.табл. 4) сначала определяем интервал, содержащий медиану

                         _{Таблица 7}                               

Интервалы	Частоты (mi)	Накопленные частоты (νi)
7;10,5	5	5
10,5;14	7	12
14;17,5	11	23
17,5;21	4	27
21;24,5	2	29
24,5;28	1	30

 

Первая из накопленных  частот, которая превышает 15, равна  23. А ей соответствует интервал (14-17,5), который и будет медианным интервалом. Теперь по формуле вычислим М_е :

                

 

где   

 

 

 

 

10)  Рассчитаем среднее число поступления сборочных единиц по формуле (1.13) для дискретного и интервального рядов.

Рассчитаем среднее  число поступивших сборочных  единиц по формуле для дискретного вариационного ряда в табл. 2.

 

                         

 

А для интервального  вариационного ряда по данным (табл. 4) в формуле в качестве значений признака принимаются середины интервалов. Теперь расчет средней арифметической примет вид:

 

 

11) Для расчета дисперсии в интервальном вариационном ряде  (см. табл. 4) используем формулу, заменяя x_i  серединами интервалов:

                         

 

 

 

 

 

Заметим, что если крайние интервалы вариационного ряда не замкнуты, то сначала устанавливают границы этих интервалов, полагая, что ширина первого интервала такая же, как у второго, а у последнего – такая же, как у предпоследнего.