Xi =∑biYj, I=1…n 

          В отличие от коэффициентов  прямых затрат aij коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

          Чтобы выяснить экономический  смысл элементов матрицы В = (bij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта: 

       || 1 ||          || 0 ||               || 0 ||

       || 0 ||            || 1 ||              || 0 ||

Y1 = ||... ||, Y2 = ||....||,  Yn =  ||... || .

       || 0 ||           || 0 ||               || 1 || 

Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут: 

         ||s11||                ||s12||                                  ||s1n||

         ||s21||                ||s22||                                  ||sn2||

Y1 = ||..  .||,        Y2 =||...  ||,       ,                Yn = ||...  ||.

        ||sn1||                ||sn2||                                ||snn|| 

          Следовательно, каждый элемент bij матрицы B есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

          В соответствии с  экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi и aij.

          Необходимо отметить, что прежде чем воспользоваться  методом Леонтьева, нужно определить продуктивна ли матрица. Матрица  А называется продуктивной, если для  любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

          Существует несколько  критериев продуктивности матрицы  А. Один из них говорит о том, что  матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит  единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы. Но данное условие является только достаточным.

          К необходимым же и достаточным условиям относят  следующие:

1. матрица (E-A) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (E-A) ≥0;
2. матричный ряд  E + A +A²+A³ +…=∑ Aκ сходиться, причём его сумма равна обратной матрице (E-A);

      Вычислительные аспекты решения задач на основе модели межотраслевого баланса будут продемонстрированы в заключительной  главе курсовой работы. Основной объём расчётов по этой модели связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат.

      Рассмотренная выше межотраслевая модель является статической, т.е. такой в которой все зависимости отнесены к одному моменту времени. Такие модели могут разрабатываться лишь для отдельно взятых периодов, причём в рамках данных моделей не устанавливается связь с предшествующими или последующими периодами. Народнохозяйственная динамика отображается, таким образом, рядом независимо рассчитанных моделей, что вносит определённые упрощения и сужает возможности анализа. К числу таких упрощений прежде всего следует отнести то, что в статических межотраслевых моделях не анализируется распределение, использование и производственная эффективность капитальных вложений. Капиталовложения вынесены из сферы производства в сферу конечного использования вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, т.е. включены в конечный продукт. 
 

  Достоинства и недостатки леонтьевского метода

       Достоинства метода:

• Позволяет планировать отрасли системно с учетом места и веса каждой отрасли.
• Дает возможность планирования на ряд лет, позволяя найти пути подъема, как всей экономики страны, так и отдельных отраслей. (Успехи Леонтьева в Германии и Японии после войны.) Практическое применение метода затраты выпуск достаточно широко. В США после Второй мировой войны по руководством Леонтьева составлена матричная таблица включающая 400 отраслей экономики США. Результаты экономического анализа были использованы для прогнозирования занятости населения в послевоенный период. Модели Леонтьева позволили смягчить топливный кризис 1970 года, продовольственный 1972-74 годов, экологический конца 70-х начала 80-х годов.)

Недостатки:

• Опора на матрицу коэффициентов полных затрат приводит к трудоемкому процессу сбора и обработки большого объема статистической информации. Процесс производится с периодичностью 5 лет, что не дает полной картины динамики отрасли.
• Нет учета технологических изменений в отраслях за период между сбором информации о матрице затрат.

Глава 3. Практическое применение метода Леонтьева

 

     Макроэкономика  функционирования многоотраслевого хозяйства  требует баланса между отдельными отраслями. Пусть производственная сфера  хозяйства представляет  собой  отрасли,  каждая из  которых производит свой  однородный  продукт. Для  обеспечения  своего  производства  каждая отрасль  нуждается  в  продукции  других  отраслей (производственное  потребление). Обычно  процесс  производства  рассматривается  за  некоторый промежуток времени, например, за год. 

Обозначим

xi –  общий (валовый) объем продукции  i–й отрасли; 

xij –  объем продукции  i–ой отрасли,  потребляемой  j–ой отраслью при 

производстве  объема продукции; 

xj,  yi  –  объем продукции  i–ой   отрасли, предназначенной  для   реализации в непроизводственной  сфере,  так называемый продукт  конечного потребления.   

Имеет место соотношение баланса: 

(продукция i–й отрасли, используемая другими отраслями в процессе производства и потребления).

Коэффициенты  прямых  затрат показывают  затраты  продукции

i–й  отрасли на производство единицы  продукции j-й отрасли. Считается, что aij = const. Тогда 

Если вектор валового выпуска    матрица прямых затрат  (структурная матрица) вектор конечного продукта, получаем матричное уравнение

или

 

уравнение межотраслевого баланса.

Матрица А, все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора Y  с неотрицательными компонента-

ми существует решение уравнения (1) или (2) – вектор  X , все элементы,

которого неотрицательны. Матрица   - матрица полных затрат. 

Первый  критерий продуктивности. Матрица продуктивна  тогда и 

только  тогда, когда существует матрица  и ее элементы неотрицательны. 

Второй  критерий продуктивности. Матрица А  с неотрицательными

элементами  продуктивна,  если  сумма  элементов  по  любому  ее  столбцу 

(строке)  не  превосходит  единицы  ,  причем  хотя  бы  для одного

столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Если  матрица  коэффициентов  прямых  затрат  А  является  продуктивной, то существует матрица , являющаяся суммой сходящегося матричного ряда 

 

Пример. В виде схемы приведены данные по балансу за некоторый

период  времени между двумя отраслями  промышленности. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Найти  векторы  конечного  потребления  и  валового  выпуска,  а  также

матрицу коэффициентов  прямых затрат и определить является ли она продуктивной в соответствии с приведенными выше критериями. 

Решение.  Имеем  х1=400,  х2=500,  т.е. валовый выпуск;

у1=150, у2=200, - вектор конечного потребления. 

 

 - матрица коэффициентов прямых затрат. По второму критерию max (0,125 + 0,25; 0,4 + 0,3) = 0,7 < 1. Матрица А продуктивна. По

первому критерию покажем, что существует матрица  и ее элементы

неотрицательны. 

 

Существует  обратная  матрица с неотрицательными  элементами, значит продуктивна. Матрица - матрица полных затрат.

      А теперь прорещаем этот же пример в  системе Open Office Org. Calc.

     Введем  значения потребления и векторов Х и У.

       Сначала найдем матрицу производственных затрат (A) . Для этого выделим любые 4 пустые ячейки (в нашем случае это диапазон ячеек B5:C6). Затем нажмем по кнопке «=», выделим диапазон ячеек потребления (B2:C3), поставим знак деления «/», нажмем по кнопке «функция» и появится сообщение о принятии исправления – выбрать «нет». В структуре убрать выделение. Далее перейти к функции и выбрать массивы. В массивах найти функцию TRANSPOSE и выбрать ее двойным щелчком левой кнопки мыши. Выделить вектор Х (G2:G3) и нажать «OK».

     Следующим действием найдем единичную матрицу (E) : выделим 4 пустые ячейки (B12:C13), нажмем по кнопке «функция», выберем массив, в массиве выберем функцию MUNIT, выделим потребление (B2:C3) и нажмем «OK».

     Затем вычтем из единичной матрицы вычтем матрицу производственных затрат (E-A). Для этого выберем одну пустую ячейку (E12) и введем в нее знак «=» и адрес первой ячейки единичной матрицы (B12) , знак вычитания «-», затем адрес первой ячейки матрицы производственных затрат (B5). Затем тянем за уголки на 1 ячейку вниз и на 1вправо.

     Далее вычислим определитель(/E-A/): выделим 1 ячейку (H12), выберем функцию, массив, MDETERM, выделим диапазон ячеек со значением (E-A) (E12:F13) и «OK».

     И, наконец, найдем обратную матрицу  (E-A)^-1. Для этого выделим 4 пустые ячейки (J12:K13), выберем функцию, массив,  MINVERSE, выделим ячейки  (E-A)^-1 (E12:F13) и «OK».