Многошаговые процессы управления

Содержание:

Введение

Глава 1. Многошаговые процессы управления.

     1.1 Поведение динамической системы как функции начального состояния.

     1.2 Представление динамического процесса в виде последовательности преобразований.

     1.3 Многошаговый процесс управления. 

Глава 2. Достаточные  условия оптимальности для многошаговых процессов управления. 

Глава 3. Условия  оптимальности для многошагового  процесса с неограниченным управлением. 

Глава 4. Условия оптимальности для многошагового процесса при наличии ограничений на управление. 

Заключение 

Список использованной литературы 

Приложение

 

Введение.

     Теория управления — наука о принципах и методах управления различными системами, процессами и объектами. Основами теории управления являются кибернетика и теория информации.

     Суть  теории управления: на основе системного анализа составляется математическая модель объекта управления (ОУ), после  чего синтезируется алгоритм управления (АУ) для получения желаемых характеристик  протекания процесса или целей управления.

     Данная  область знаний хорошо развита и  находит широкое применение в  современной технике. В социально-экономических  системах управление является деятельностью  по организации деятельности.

     Кибернетика установила, что управление присуще  только системным объектам. Общим  в процессах является его антиэнтропийный  характер, направленность на упорядочение системы.

     Процесс управления можно разделить на несколько  этапов:

1. Сбор и обработка информации.

2. Анализ, систематизация, синтез.

3. Постановка на этой основе целей. Выбор метода управления, прогноз.

4. Внедрение выбранного метода управления.

5. Оценка эффективности выбранного метода управления (обратная связь).

     Конечной  целью теории управления является универсализация, а значит согласованность, оптимизация  и наибольшая эффективность функционирования систем.

     Оптимальное управление — это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного  объекта управления или процесса закон управления или управляющую  последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы.

     Для решения задачи оптимального управления строится математическая модель управляемого объекта или процесса, описывающая  его поведение с течением времени  под влиянием управляющих воздействий  и собственного текущего состояния. Математическая модель для задачи оптимального управления включает в себя:

• формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления;
• определение дифференциальных или разностных уравнений, описывающих возможные способы движения объекта управления;
• определение ограничений на используемые ресурсы в виде уравнений или неравенств.

 

     Глава 1. Многошаговые процессы управления.

1.1. Поведение динамической системы как функции начального состояния.

     Нахождение  рационального управления в динамических системах во многих вариантах значительно  облегчается, если процесс управления удается разбить естественным либо искусственным методом на отдельные  шаги либо этапы. Для того чтоб вести  рассмотрение в общем виде, будем  считать, что состояние объекта  описывается многомерной переменной х={x₁,...,х_n}.

     Предполагая, что процесс является неуправляемым  и неопределенность в состоянии  природы отсутствует, дифференциальное уравнение, определяющее движение объекта, запишем в виде: x(t)=g(x), x(0)=c.

     Решение этого уравнения записывают традиционно, как х=х(t), чем подчеркивается зависимость решения от времени. Но не менее принципиально то, что решение уравнения зависит от начального состояния с. Поэтому более серьезной является такая форма записи, которая указывает явную зависимость решения х как от времени, так и начального состояния: х=х(c, t)=х[x(0), t].

     Такая форма записи дозволяет разглядывать состояние системы в случайный момент времени t как некоторое преобразование начального состояния х(0)=с на интервале t.

     Рассмотрим  движение объекта на интервале от 0 до t₂, который промежуточной точкой t₁ разобьем на два интервала длительностью t₁ и _.

     Рассмотрим  три состояния объекта управления:

-изначальное состояние х(о) =с;

-состояние х(с, t₁) в промежуточный момент t₁;

-состояние х(с, t₂) в конечный момент t₂;

     К описанию последнего состояния можно  подойти двояким образом. Это  состояние можно разглядывать либо как преобразование начального состояния х(о)=с на интервале t₂=t₁+ ф: х(с, t₂)= х(с, t₁ + f) либо как преобразование состояния х(с, t₁) на интервале f: х(с, t₂)= х[x(с, t₁), f].

     Так как оба выражения обрисовывают одно и то же состояние, то, приравнивая их, получаем соотношение: х(с, t₁ + f)=х[x(с, t₁), f].

 

1.2. Представление динамического процесса в виде последовательности преобразований.

     Предположим, что динамический процесс х(с, t) на интервале от 0 до t_f может быть естественным либо искусственным образом представлен как многошаговый, и найдем подходящий метод описания такового процесса. Для того, чтобы получить многошаговый процесс, интервал от 0 до tf следует разбить на n последовательных шагов, длительности которых примем равными f1,f2,..., f_n. Обозначим через t_k(k=0,...,n) моменты окончания k-го шага так, что t_k+1= t_k+f_k+1, а через x_k - состояние объекта в момент t_k: x_k=x(c,t_k).

Рассмотрим  состояние x_k+1=x(c,t_k+1)=x(c,t_k+f_k+1). Это выражение в можно представить в виде: x_k+1=x[x(c,t_k),f_k+1]=x(x_k,f_k+1).

     Это соотношение представляет состояние объекта x_k+1 как итог преобразования состояния x_k на (k+1)-м шаге.

     Введем  в рассмотрение оператор Т, который  будет означать преобразование состояния  процесса за один шаг:

Т (x_k) = x(x_k, f_k+1), k = 0,n-1. Тогда получим: x_k+1=Т (x_k).

     Полагая k=0,n-1, можем обрисовать весь динамический процесс в виде последовательности преобразований

x₀=c , x₁=Т (x₀), …, x_n=Т (x_n-1).

 

1.3. Многошаговый процесс управления. 

     Динамический  процесс, описываемый преобразованием x_k+1=Т(x_k), является неуправляемым. Для получения управляемого многошагового процесса нужно иметь возможность на каждом шаге осуществлять не одно преобразование Т(х_k), а одно из множества преобразований Т_i(х_k).

     Комфортно считать, что конкретный вид преобразования будет зависеть от параметра u_k, который на k-м шаге может воспринимать одно из множества значений U_k. Параметр u_k будем именовать управлением, а множество U_k - пространством допустимых управлений на k-м шаге. Преобразование, осуществляемое на k-м шаге, сейчас можно записать в виде

x_k+1=Т(x_k, u_k), u_k U_k .

     Если  в этом соотношении положить последовательно t_k=0,n-1 и учитывать изначальное состояние х₀, то получим описание всего управляемого многошагового процесса:

x_k+1=Т(x_k, u_k), u_k U_k , t_k=0,n-1, х₀=x(0)=c.

     Данное  соотношение, называемое разностным уравнением объекта управления, аналогично дифференциальному  уравнению, дающему описание непрерывного динамического процесса.

 

Глава 2. Достаточные условия оптимальности для многошаговых процессов.

     Для задач теории оптимального управления в дискретных системах может быть сформулирована и доказана теорема о достаточных условиях оптимальности. Используемые при этом математические конструкции аналогичны введенным выше и являются их качественным аналогом для многошаговых процессов.

     Задача  оптимального управления дискретной системой формулируется следующим образом. Пусть управляемый процесс описывается системой разностных уравнений

xⁱ(t+1) =fⁱ(t,x(t), и (t)), t = 0,1,... ,T-1; i= 1,2, ... , п,                (1)

с начальным  условием

х(0)=х_о.                                                    (2)

     На  возможные значения состояния системы  x(t) и управления u(t) наложены ограничения

(x(t),u(t))ЄV^t.                                                   (3)

     Соотношения (2), (3) можно рассматривать как ограничения, определяющие множество М допустимых процессов (х (t), и (t)) в данной системе.

     Требуется найти такой процесс (x*(t), и* (t)), который минимизирует функционал

J=.                        (4)

     Так же как и при рассмотрении непрерывных  систем, для формулировки теоремы о достаточных условиях оптимальности вводятся две функции: R (t, х, и)и Ф (х). Для их построения, как и выше, введем функцию φ (t, х) переменных (t, x¹, х²,..., хⁿ), или в векторном виде (t, х). В отличие от непрерывных систем здесь от функции φ (t, х), вообще говоря, не требуется, наличия каких-либо аналитических свойств типа непрерывности или дифференцируемое.

     Функцию R (t, х, и) определим в дискретном процессе следующим образом:

R (t, х, и) - φ (t + 1,f(t, х, и)) - φ (t, х) – f⁰(t, х, и),                     (5)

     а функцию Ф(х), как и раньше, зададим  в виде

Ф(х) = φ(Т,х) + F(х).                                         (6)

     Если  считать аналогом производной в  дискретном процессе для функции  f(t) выражение ∆f(t) =f(t + 1) —f(t), то первые два слагаемых в (5) могут рассматриваться как «производная» ∆φ (t, x(t)) функции φ (t, x(t)), если x(t) является решением системы (1), т.е. траекторией рассматриваемого процесса.

     Если  это так, то в выражении φ (t + 1,f(t, х, и))  после подстановки х = x(t), и = u(t) можно, учитывая уравнение процесса (1), f(t, x(t), u(t)) заменить на х(t + 1). В результате получим, что на траектории x(t) первые два слагаемых в формуле (5) будут равны

∆φ (t, x(t)) = φ (t + 1,x(t+1)) - φ (t, х(t))                           (7)

     Для дискретного процесса имеет место  теорема о достаточных условиях оптимальности.

     Теорема 1 (достаточные условия оптимальности для многошаговых процессов). Пусть допустимый процесс v* = (х*(0), и*(t)) Є М и некоторая функция φ (t, х) удовлетворяют условиям:

      1) R(t,x*(t),u*(t))=,       t = 0, 1 T-1;

      2) Ф(x*(T))=

     Тогда процесс (х*(0), и*(t)) является оптимальным.

Доказательство.

     Рассмотрим  вспомогательный функционал L(х, и, φ) с помощью соотношения

          (8)

     Как и раньше, оба функционала L и J будем рассматривать на множестве D процессов (х(t), u(t)). удовлетворяющих ограничению (3) и множеству допустимых процессов M⊂ D.

     Лемма 1. Для любой функции φ (t, х) значения функционалов L и J на множестве М допустимых процессов совпадают, т.е.

L(x(t), u(t), φ (t, х)) = J(x(t), u(t)),    (x(t), u(t)) Є M.                (9)

     Доказательство. Проведем преобразование выражения (8) для функционала L, учитывая, что процесс (х(t), u(t)) является допустимым.