Межотраслевой баланс

Межотраслевой баланс 

    Условная  экономическая система включает связанные между собой 3 отрасли. 

    Дано:

    Коэффициенты  прямых затрат:

А = ;

a11 = 0.3 + 0.002G;     a22 = 0.1 + 0.002N;     a33 = 0.2 + 0.015G

    (диагональные  элементы матрицы А для каждого варианта определяются в зависимости от заданных значений G и N) 

    и вектор конечных продуктов:

Y = ;

Y1 = 100 + 15G + 2N;     Y2 = 30 + 10G + 2N;     Y3 = 35 + 2G + 2N

    (элементы  вектора Y зависят от заданных  значений N), 

    где: G – номер билета; N – номер билета (значения G и N задаются преподавателем) 

    Определить:

    1. Валовой продукт X_i каждой отрасли;

    2. Промежуточную продукцию X_ij каждой отрасли;

    3. Соответствие результатов уравнению  баланса

    X_i = , i = 1,2,3,… 

    Подготовка  исходных данных индивидуального  задания для варианта (например, G=1, N=3):

    В соответствии с исходными данными  имеем:

    Коэффициенты  прямых затрат:

А = ;

a11 = 0.3 + 0.002*1 = 0.302;     a22 = 0.1 + 0.002*3 = 0.106;     a33 = 0.2 + 0.015*1 = 0.215.

    вектор  конечных продуктов:

Y = ;

Y1 = 100 + 15*1 + 2*3 = 121;     Y2 = 30 + 10*1 + 2*3 = 46;     Y3 = 35 + 2*1 + 2*3 = 43.

    Требуется определить вектор валовых продуктов:

    X =  и X_ij 

    Решение:

    Модель  стоимостного межотраслевого баланса (СМОБ) можно представить в векторном виде:

    AX + Y = X, (1)

где А = = -

матрица коэффициентов прямых затрат;

    Y = = – заданный вектор конечного продукта;

    X = = – искомый вектор. 

    1) Модель (1) имеет единственное решение,  поскольку норма η^А матрицы А меньше 1. В качестве нормы принимается максимальная из сумм ее элементов по столбцам:

    η^А = max {Σ_ia_ij} < 1 (2)

     ;  ; ;

    η^А = 0.587 < 1, следовательно, задача имеет единственное решение.

 

     2) Решение модели (1) может быть  получено следующим образом. Для этого перепишем модель (1):

    X – AX = Y или (E – A)X = Y (3)

    Откуда  X = (E – A)^-1Y – решение модели (3), где E – единичная матрица;

    (Е-А)^-1 – матрица, обратная матрице (Е-А). 

    2.1) Найдем матрицу (Е-А):

    Е-А = - =

    = . 

    2.2) Рассчитаем (Е-А)^-1, по формуле

     . (4)

    2.2.1) Найдем D_E-A (определитель матрицы (Е-А):

      

    2.2.2) Определим матрицу (Е-А)^Т, транспонированную матрице (Е-А):

    (Е-А)^Т =  

    2.2.3) Найдем алгебраические дополнения  элементов транспонированной матрицы и составим из них присоединенную матрицу (Е-А)^Пр, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы (Е-А)^Т:

    А₁₁ = (-1)¹⁺¹

    А₁₂ = (-1)¹⁺²

    А₁₃ = (-1)¹⁺³

    А₂₁ = (-1)²⁺¹

    А₂₂ = (-1)²⁺²

    А₂₃ = (-1)²⁺³

    А₃₁ = (-1)³⁺¹

    А₃₂ = (-1)³⁺²

    А₃₃ = (-1)³⁺³

    Получили:

    (Е-А)^Пр =

    2.2.4) Вычислим обратную матрицу по  формуле (4):

    (Е-А)^-1 = =

    2.3) Т.о. получим решение модели:

    X = (E – A)^-1Y = =

    =  
 

    2.4) Определим промежуточную продукцию  X_ij каждой отрасли по формуле:

    x_ij = a_ijx_j (5)

    x_ij =  

    3) Проверка баланса:

    X_i =

    202,869= 81,869+121,

    111,535=65,535+46,

    105,431=62,431+43. 

    Ответ:

    1. Валовой продукт X_i каждой отрасли: X = ;

    2. Промежуточную продукцию X_ij каждой отрасли: X_ij ≈

    3. Результаты задачи соответствуют уравнению баланса.