Метод Симпсона

Однако при применении правила  Рунге необходимо учитывать величину погрешности вычислений: с уменьшением  абсолютная погрешность вычислений интеграла увеличивается (зависимость от обратно пропорциональная) и при достаточно малых может оказаться больше погрешности метода. Если превышает , то для данного шага применять правило Рунге нельзя и желаемая точность не может быть достигнута. В таких случаях необходимо увеличивать значение .

При выводе правила Рунге вы существенно  пользовались предположением, что  . Если имеется только таблица значений , то проверку «на постоянство» можно сделать непосредственно по таблице Дальнейшее развитие приведенных алгоритмов позволяет перейти к адаптивным алгоритмам, в которых за счет выбора различного шага интегрирования в разных частях отрезка интегрирования в зависимости от свойств уменьшается количество вычислений подынтегральной функции.

Другая схема уточнения значений интеграла - процесс Эйтнена. Производится вычисление интеграла с шагами

, причем . Вычисление значений . Тогда               (14).

    За меру точности метода  Симпсона принимают величину :

 

5. Примеры

 

  Пример 1. Вычислить интеграл по формуле Симпсона, если задана таблицей. Оценить погрешность.

Таблица 3.

 

	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
	1	0.995	0.98	0.955	0.921	0.878	0.825	0.765	0.697

Решение: Вычислим по формуле (1) при  и интеграл .

.

По правилу Рунге получаем Принимаем .

 

   Пример 2. Вычислить интеграл  . 

Решение: Имеем  . Отсюда h= =0.1. Результаты вычислений приведены в таблице 4.

 

Таблица 4.

Вычисление интеграла по формуле  Симпсона

 

i
0	0		y0=1,00000
1	0.1	0,90909
2	0.2		0,83333
3	0.3	0,76923
4	0.4		0,71429
5	0.5	0,66667
6	0.6		0,62500
7	0.7	0,58824
8	0.8		0,55556
9	0,9	0,52632
10	1,0		0,50000=yn
å		3,45955(s1)	2,72818(s2)

 

По формуле Симпсона получим:

 

Подсчитаем погрешность полученного  результата. Полная погрешность  складывается из погрешностей действий и остаточного члена . Очевидно:

= ;

где - коэффициенты формулы Симпсона и e- максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции.

= .

Оценим остаточный член. Так как  , то . Отсюда max  при и, следовательно, £ . Таким образом, предельная полная погрешность есть R= и, значит, ± .

 

  Пример3. Вычислить интеграл: .

 

Решение:

2	-0,41613	-0,208065	1
2,05	-0,46107	-0,224912
2,1	-0,59485	-0,240405	4
2,15	-0,54736	-0,254586
2,2	-0,58850	-0,267500	2
2,25	-0,62817	-0,279187
2,3	-0,66628	-0,289687	4
2,35	-0,70271	-0,299026
2,4	-0,73739	-0,307246	2
2,45	-0,77023	-0,314380
2,5	-0,80114	-0,320465	4
2,55	-0,83005	-0,325510
2,6	-0,85689	-0,329573	2
2,65	-0,88158	-0,332672
2,7	-0,90407	-0,334841	4
2,75	-0,92430	-0,336109
2,8	-0,94222	-0,336507	2
,85	-0,95779	-0,336067
2,9	-0,97096	-0,334814	4
2,95	-0,98170	-0,332780
3	-0,98999	-0,329997	1

 

.

Поскольку , при xÎ[2,3], для производных и получаем:

-1.4 £

£1, то есть ç ê£ 1,

-£ £ 3, то есть ç ê£ 3.

Оценки для погрешности  метода Симпсона : £ 0.0000017 для =0.1, £ 0.0000002 для =0.05.

Чтобы погрешность округления не искажала столь точный результат для формулы  Симпсона, все вычисления проводились  с шестью знаками после запятой.

Окончательные результаты:

 

0,1	-0,30335	0,0000017
0,05	-0,30335	0,0000002