Метод отражений для решения СЛАУ

Метод отражений  для решения СЛАУ

Метод отражений (Хаусхолдера) - метод приведения матрицы  к желаемому виду 
ортогональными преобразованиями вида P=I-2*Wt*W 
где W - вектор единичной нормы. Выбирается он так, чтобы обнулить желаемый 
элемент.

Метод Хаусхолдера для симметричных матриц 

Метод Хаусхолдера  позволяет привести матрицу к  трехдиагональному виду, выполнив почти вдвое меньше вычислений по сравнению с другими методами. Это обусловлено тем, что при его применении становятся нулевыми сразу все элементы строк и столбцов, стоящие вне трех диагоналей матрицы. Метод Хаусхолдера позволяет получить требуемый результат быстрее, чем метод Гивенса, так как связан с выполнением меньшего числа, хотя и более сложных преобразований. Это его свойство особенно ярко проявляется применительно к большим матрицам. Хотя в методе Хаусхолдера вместо плоских вращении используются эрмитовы ортогональные преобразования матриц, трехдиагональная форма матрицы, которую получают этим методом, имеет те же собственные значения, что и трехдиагональная матрица, получаемая методом Гивенса. При использовании метода Хаусхолдера на п — 2 основных шагах выполняются следующие преобразования:

А_k = Р_kA_k-1Р_k, k=1, 2, ..., п-2,

где Aо == А. 

Каждая преобразующая  матрица имеет вид

                                          u_k u_k^T

      P_k = E - -------------- ,

                                           2K_k² 

где

                  u_i,_k = 0  при i = 1, 2, …, k,

      u_i,_k = a_k,_i при i = k+2, …, n,

      u_k+1,_k = a_k,k+1  ± Sk. 

Здесь

       n         1/2

                  S_k =      S  a²_k,i

                        i=k+1 

                  2K²_k = S²_k  ± ak, k+1 Sk.

В этих уравнениях берется знак, соответствующий  элементу a_k,_k+1. Это позволяет сделать значение и_k+1,k максимальным. Отметим, что методами Гивенса и Хаусхолдера можно пользоваться и в случае несимметричных матриц, приводя их, правда, не к трехдиагональному, а другому частному виду треугольной матрицы известной как матрица Гессенберга: