Метод обратной матрицы

 
Процесс вычисления обратной матрицы  достаточно трудоемкий. Решение системы  линейных уравнений методом обратной матрицы не является самым удобным, но такой способ есть... Данный метод применим, если определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю.

Введите исходные данные  
целые числа и ( или ) десятичные дроби ( например -0.125   -5   2.12   10 )

Обратную матрицу  найти   

Решение вашей  системы методом Гаусса ...

Решение вашей  системы методом Крамера ...

Решим систему уравнений

7 x₁

+ 5 x₂

-20 x₃

=

-2

2 x₁

+ 2 x₂

-3 x₃

=

17

x₁

+ x₂

- x₃

=

11

Запишем систему  уравнений в матричной форме

A * X = B

Найдем матицу A^-1, обратную к матрице А, методом алгебраических дополнений

Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами а_ij. Первый индекс i обозначает номер строки , а второй j - номер столбца, где находится элемент матрицы а_ij.

A =

Обратную матрицу A^-1, будем искать в следующем виде:

A ^-1 = 1 / det A *

где A_ij = ( -1 ) ^i+j * M _ij

Обратите внимание на множитель 1 / det A - стоящей перед матрицей. Очевидно, если определитель матрицы А равен нулю , то обратной матрицы не существует.

М _ij это минор элемента а _ij, т.е. определитель , полученный вычеркиванием из матрицы А строки с номером i и столбца с номером j. А _ij - это алгебраическое дополнение элемента а _ij, или, проще говоря, минор взятый с определенным знаком. Если сумма номера строки и номера столбца элемента а_ij четная , то алгебраическое дополнение это минор. Если сумма номера строки и номера столбца элемента а_ij нечетная , то алгебраическое дополнение это минор, взятый со знаком минус. Математически это выражается выражением ( -1 )^i+j. Не забудьте обратить внимание на индексы алгебраических дополнений в обратной матрице.

·  Найдем определитель матрицы А.

det A =

7

5

-20

=

2

2

-3

1

1

-1

Из элементов  столбца 1 вычитаем соответствующие  элементы столбца 2 .

=

2

5

-20

=

0

2

-3

0

1

-1

Разлагаем определитель по элементам первого столбца.

= 2* ( 2 * ( -1) - ( -3) * 1 ) =

= 2 * 1

= 2

более подробное  вычисление det А

Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A^-1 существует.

·  Найдем алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁ . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.

A =

Определитель состоящий  из оставшихся элементов матрицы  А, называется минором ( M₁₁ ) элемента a₁₁.

M₁₁ =

2

-3

= 2 * ( -1) - ( -3) * 1 = ( -2) - ( -3) = 1

1

-1

Так как сумма  номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₁₁, есть число четное ( 1 + 1 = 2 ) и выражение ( -1 )¹⁺¹ = 1, то алгебраическое дополнение элемента a₁₁ равно минору данного элемента.

A₁₁ = ( -1 ) ¹⁺¹ * M ₁₁ = ( -1 ) ¹⁺¹ * 1 = 1

·  Найдем алгебраическое дополнение A₁₂ элемента a₁₂ . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.

A =

Определитель состоящий  из оставшихся элементов матрицы  А, называется минором ( M₁₂ ) элемента a₁₂.

M₁₂ =

2

-3

= 2 * ( -1) - ( -3) * 1 = ( -2) - ( -3) = 1

1

-1

Так как сумма  номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₁₂, есть число нечетное ( 1 + 2 = 3 ) и выражение ( -1 )¹⁺² = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a₁₂ равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

A₁₂ = ( -1 ) ¹⁺² * M ₁₂ = ( -1 ) ¹⁺² * 1 = -1

·  Найдем алгебраическое дополнение A₁₃ элемента a₁₃ . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3.

A =

Определитель состоящий  из оставшихся элементов матрицы  А, называется минором ( M₁₃ ) элемента a₁₃.

M₁₃ =

2

2

= 2 * 1 - 2 * 1 = 2 - 2 = 0

1

1

Так как сумма  номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₁₃, есть число четное ( 1 + 3 = 4 ) и выражение ( -1 )¹⁺³ = 1, то алгебраическое дополнение элемента a₁₃ равно минору данного элемента.

A₁₃ = ( -1 ) ¹⁺³ * M ₁₃ = ( -1 ) ¹⁺³ * 0 = 0

·  Найдем алгебраическое дополнение A₂₁ элемента a₂₁ . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.

A =

Определитель состоящий  из оставшихся элементов матрицы  А, называется минором ( M₂₁ ) элемента a₂₁.

M₂₁ =

5

-20

= 5 * ( -1) - ( -20) * 1 = ( -5) - ( -20) = 15

1

-1

Так как сумма  номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₂₁, есть число нечетное ( 2 + 1 = 3 ) и выражение ( -1 )²⁺¹ = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a₂₁ равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

A₂₁ = ( -1 ) ²⁺¹ * M ₂₁ = ( -1 ) ²⁺¹ * 15 = -15

·  Найдем алгебраическое дополнение A₂₂ элемента a₂₂ . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.

A =

Определитель состоящий  из оставшихся элементов матрицы  А, называется минором ( M₂₂ ) элемента a₂₂.

M₂₂ =

7

-20

= 7 * ( -1) - ( -20) * 1 = ( -7) - ( -20) = 13

1

-1

Так как сумма  номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₂₂, есть число четное ( 2 + 2 = 4 ) и выражение ( -1 )²⁺² = 1, то алгебраическое дополнение элемента a₂₂ равно минору данного элемента.

A₂₂ = ( -1 ) ²⁺² * M ₂₂ = ( -1 ) ²⁺² * 13 = 13

·  Найдем алгебраическое дополнение A₂₃ элемента a₂₃ . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3.

A =

Определитель состоящий  из оставшихся элементов матрицы  А, называется минором ( M₂₃ ) элемента a₂₃.

M₂₃ =

7

5

= 7 * 1 - 5 * 1 = 7 - 5 = 2

1

1

Так как сумма  номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₂₃, есть число нечетное ( 2 + 3 = 5 ) и выражение ( -1 )²⁺³ = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a₂₃ равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

A₂₃ = ( -1 ) ²⁺³ * M ₂₃ = ( -1 ) ²⁺³ * 2 = -2

·  Найдем алгебраическое дополнение A₃₁ элемента a₃₁ . В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1.

A =

Определитель состоящий  из оставшихся элементов матрицы  А, называется минором ( M₃₁ ) элемента a₃₁.

M₃₁ =

5

-20

= 5 * ( -3) - ( -20) * 2 = ( -15) - ( -40) = 25

2

-3

Так как сумма  номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₃₁, есть число четное ( 3 + 1 = 4 ) и выражение ( -1 )³⁺¹ = 1, то алгебраическое дополнение элемента a₃₁ равно минору данного элемента.

A₃₁ = ( -1 ) ³⁺¹ * M ₃₁ = ( -1 ) ³⁺¹ * 25 = 25

·  Найдем алгебраическое дополнение A₃₂ элемента a₃₂ . В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2.

A =

Определитель состоящий  из оставшихся элементов матрицы  А, называется минором ( M₃₂ ) элемента a₃₂.

M₃₂ =

7

-20

= 7 * ( -3) - ( -20) * 2 = ( -21) - ( -40) = 19

2

-3

Так как сумма  номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₃₂, есть число нечетное ( 3 + 2 = 5 ) и выражение ( -1 )³⁺² = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a₃₂ равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

A₃₂ = ( -1 ) ³⁺² * M ₃₂ = ( -1 ) ³⁺² * 19 = -19

·  Найдем алгебраическое дополнение A₃₃ элемента a₃₃ . В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3.

A =

Определитель состоящий  из оставшихся элементов матрицы  А, называется минором ( M₃₃ ) элемента a₃₃.

M₃₃ =

7

5

= 7 * 2 - 5 * 2 = 14 - 10 = 4

2

2

Так как сумма  номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₃₃, есть число четное ( 3 + 3 = 6 ) и выражение ( -1 )³⁺³ = 1, то алгебраическое дополнение элемента a₃₃ равно минору данного элемента.

A₃₃ = ( -1 ) ³⁺³ * M ₃₃ = ( -1 ) ³⁺³ * 4 = 4

Осталось, только записать обратную матрицу.

A ^-1 = 1 / 2 *

A ^-1 =

Вернемся  к нашему уравнению, которое мы записали в матричной форме.

A * X = B

Умножим левую и  правую часть нашего матричного уравнения  на A^-1

A^-1 * A * X = A^-1 * B

Произведение обратной матрицы на исходную есть единичная  матрица, т.е. A^-1 * A = Е, следовательно

X = A^-1 * B

x₁ =

*

+

*

+

*

=

+

+

=

x₂ =

*

+

*

+

*

=

+

+

=

x₃ =

*

+

*

+

*

=

+

+

=

Ответ :

x₁ = 9

x₂ = 7

x₃ = 5