Математика в Древней Греции

Если даны две  неравные величины и от большей отнимается более половины, от оставшегося также  более половины, и так далее, то останется величина, которая будет  меньше всякой данной малой величины (книга X, предл. I)

Так как в устанавливаемом  этой теоремой процессе всякий остаток  сравним со следующим за ним, то строгие  требования греческой геометрии  являются удовлетворёнными. С помощью  этой теоремы Эвклид доказывает, что  всякий конус составляет третью часть  цилиндра, имеющего одинаковые с ним  основание и высоту; из тех же оснований он выводит, что круги  относятся как квадраты их диаметров, что треугольные пирамиды, конусы, цилиндры при одной и той же высоте относятся соответственно, как  площади их оснований; что отношение  шаров равно отношению кубов  их диаметров.

С гораздо большей  строгостью относился к методу исчерпывания Архимед, положивший в его основание  теорему:

Если две линии, две поверхности или два объёма неравны, то всегда возможно величину, на которую большее превосходит  меньшее, прилагать к самой себе столько раз, что получится результат, превосходящий всякую данную конечную величину одного с ним рода.

Пользуясь этой теоремой, Архимед даёт, например, два способа  решения вопроса о квадратуре параболы. Общий приём, заключающийся как в этих двух, по-видимому, очень различных способах, так и в подобных им, относящихся к другим родам протяжений, состоит в том, что определяемая величина рассматривается как предел ряда каких-нибудь величин, находящихся к ней в известном отношении. Но так как для практических приложений этого приёма не было выработано никаких общих правил, как относительно закона составления требуемых им рядов и формы их членов, так даже и относительно самого выбора ряда, который бы мог привести к цели, то исследователь получал в этом приёме только одни неопределённые общие указания на находящийся в его распоряжении путь исследования; во всем же остальном он был предоставлен собственной эрудиции и собственному остроумию. Это и было причиной, что только в руках такого гениального геометра, как Архимед, метод исчерпывания мог получить сколько-нибудь значительные приложения. 

Период упадка

В деятельности Эвклида, Аполлония Пергейского и особенно Архимеда период самостоятельной деятельности греков в области М. достиг момента наибольшей высоты математических исследований как в количественном, так и в качественном отношении. Затем начинается период упадка. Работы греческих математиков мельчают. Дело идёт уже не о создании новых отраслей науки и решении её труднейших вопросов, а о пополнении тех, говоря относительно, неважных пробелов, которые были оставлены предыдущим быстрым развитием науки. В этой первой фазе упадка деятельность представителей математики: Никомеда, Диоклеса, Персея, Зенодора, Гипсикла Александрийского, астронома Гиппарха, всё ещё остаётся верной прежнему направлению, которое, как продукт характеристических свойств и особенностей греческой нации, может быть названо национальным. Материалы для этой деятельности черпались действительно из отраслей М., продолжение разработки которых было завещано предыдущей эпохой. Этими отраслями были: во-первых, элементарная геометрия и в ней главным образом стереометрия, где и после работ Эвклида и Архимеда все ещё оставались некоторые пробелы; во-вторых, кривые высших порядков, толчок к изучению которых был дан Архимедом через посредство его исследования спиральных линий, и в-третьих, числовая геометрия, также указанная последующим математикам Архимедом в относящейся к ней его работе по предмету вычисления круга. К первой отрасли относились работы Зенодора (изопериметрические фигуры) и Гипсикла Александрийского (правильные многогранники), ко второй — работы Никомеда (конхоида), Диоклеса (циссоида) и Персея (спирали), и к третьей — работы Гиппарха (создание тригонометрии и вычисление хорд).

В следующую за тем  фазу упадка, начавшуюся около 100 г. до н. э., прежняя стойкость греческого гения в удержании национального направления оказывается совершенно утраченной, и если работы греческих математиков могут считаться греческими, то только по языку, а никак не по духу. К тому же и авторами их являются в большинстве случаев лица, чистота греческого происхождения которых в высшей степени сомнительна. Первым из чуждых греческому гению направлений, явившихся на смену национального, было прикладное направление, развившееся на почве древнего Египта, бывшее, по всей вероятности, наследием египетской М., об утилитарном направлении которой во времена составления папируса Ринда уже говорилось ранее.

Первое и едва ли не самое резкое выражение нашло  это направление в самом начале своего развития, ок. 100 г. до н. э., в сочинениях Герона Александрийского, посвящённых главным образом разработке геодезии и механики и во многом напоминающих приёмы, формы, а изредка даже и содержание египетской М.

К этому же направлению  должна быть отнесена и вызванная  потребностями астрономии разработка тригонометрии, начатая в трудах Гиппарха ещё в эпоху национального  направления и потому являющаяся звеном, связующим последнее с  прикладным направлением. Самыми крупными деятелями разработки тригонометрии  были Менелай Александрийский и Клавдий Птолемей. Связующий национальное и прикладное направления характер этой разработки выражается как в трудах по геометрии самого Птолемея, так и в ещё большей степени в геометрических работах второстепенных деятелей эпохи: Геминуса Родосского, Феодосия из Триполи, Дионисодора и Серенуса из Антиссы.

Как на известного нам  представителя эпохи упадка этого  направления можно указать на Секста Юлия Африканского, бывшего, несмотря на своё римское имя, греческим писателем.

Ещё более чуждым греческому гению было арифметическо-алгебраическое направление, получившее начало в неопифагорейской школе, образовавшейся в I ст. н. э. Деятелями арифметики в этой школе были: Никомах Геразский, Теон Смирнский и Тимарид. Продолжение работ неопифагорейцев в области арифметическо-алгебраического направления взяла на себя основанная во II в. н. э. неоплатоновская школа в лице главным образом двух своих представителей, Порфирия и Ямвлиха.

Но самым крупным  деятелем в области арифметическо-алгебраического направления, закончившим его развитие, был стоявший вне философских школ Диофант Александрийский. На работы этого учёного следует смотреть как на последнюю яркую вспышку угасающей греческой математической науки, напомнившую её славное прошлое и более уже не повторявшуюся.

Третьей фазой упадка греч. М. была эпоха исключительной деятельности комментаторов великих произведений греческой математической литературы прошлого времени. Крупным представителем начала этой эпохи, подобного которому в дальнейшем её течении уже не встречалось, был Папп Александрийский. Он, действительно, в своём «Собрании», этом важнейшем из его сочинений, был ещё в состоянии к изложению содержания сочинений рассматриваемых им авторов присоединять от себя различные предложения, объясняющие или дополняющие предмет, хотя нередко и стоящие с ним в очень отдалённой связи. Этой способностью, всё ещё вносящей в науку кое-что новое, последующие деятели рассматриваемой эпохи: Теон Александрийский, его дочь Ипатия, Прокл Диадох, Дамаский, Эвтокий Аскалонский, Асклепий из Траллеса и Иоанн Филопон уже не обладали.

Четвёртой, и последней, фазой упадка греческой математики была эпоха византийских учёных, продолжавшаяся от VII века н. э. до взятия турками Константинополя (1453). В эту эпоху произведения древних греческих математиков  сделались до того недоступными новым, что о самом их существовании  эти последние нередко узнавали от арабов и персов; в то время, когда арабские математики прилагали все усилия к тому, чтобы иметь на своём языке переводы всех сколько-нибудь выдающихся в греческой математической литературе произведений, византийские математики не были в силах справляться даже с самыми незначительными элементарными произведениями арабской математической литературы и для переделок переводов на греческий язык нужных им сочинений обращались уже к совершенно ничтожной математической литературе персов, представляемой, напр., такими писателями как Шамсальдин Бухарский. Особенного развития это пользование персидскими отголосками таких произведений прежней греческой литературы, как Алмагест, достигло в XIV в. в трудах Хиониада Константинопольского, Георга Хризокоццеса, Фёдора Мелитениота и монаха Исаака Аргиры.

Кроме этих учёных, деятелями  рассматриваемой эпохи в области  М., оставившими более или менее  заметный след в византийской литературе, были Михаил Пселл, Николай Кабазилас, монах Варлаам, Иоанн Педиазимус, или Галенус, Максим Плануд, Николай Рабда из Смирны и Мануил Москопул.