Математическое моделирование

     Рис.1 Схема роста при проведении процесса МОС-гидридного выращивания 

             Процесс эпитаксиального наращивания  на поверхности пластины (см. рис. 1) происходит в следующей последовательности:

     - массопередача вступающих в реакцию молекул посредством диффузии из турбулентного потока через граничный слой к поверхности;

     - адсорбция молекул поверхностью;

     - процесс реакции на поверхности;

     - десорбция продуктов реакции;

     - массопередача молекул продуктов реакции посредством диффузии через граничный слой к основному потоку газа;

       - упорядочение адсорбированных атомов материала в решетке. 

         В данной курсовой работе мы рассматриваем следующий поток:

- процесс  реакции на поверхности. 

         Скорость реакции компонента лимитируется компонентом, которого меньше всего. Для подложки из InP  это галлий. 
 
 

 
 

1.2  Построение уравнений переноса, описывающих процесс.

Для моделирования  задачи используют законы сохранения (уравнения Онсагера)

1. Уравнение неразрывности

 

            – изменение парциального давления

              -  парциальное давление галлия

           -  изменение парциальное давление галлия в единицу времени

            – время изменения температуры

            V – скорость изменения температуры. 

2.  Уравнение  сохранения энергии

  
            

        - кинетическая вязкость

   - динамическая вязкость

  - скорость изменения температуры

   - изменение скорости

  - изменение скорости в единицу времени

  - время изменения температуры

 - парциальное давление галлия 
 

3. Уравнение конвективного тепломассопереноса

 

 – парциальное давление галлия

 - изменение внутренней энергии

   - теплопроводность

- температура

   - давление

 - скорость изменения температуры 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.3 Классификация задачи с точки зрения поставленной цели, оценка требуемой точности.

          К процессам, к которым  обычно не применимо диффузионное приближение относят процессы обработки поверхностей лазером (формирование отверстий, абляция оптических дисков, абляция глаза),  МОС-гидридная и МЛЭ эпитаксия, все процессы, где осуществляется фазовый переход второго рода и т.д. В общем случае, в таких задачах приходится решать сложную систему дифференциальных уравнений  в частных производных  с  усложненными граничными условиями. Это выходит за рамки нашего курса. Однако, для выяснения многих вопросов важных для конкретных разработок, можно ограничиться решением задачи в диффузионном приближении.

     Экспериментальные входные параметры для таких задач, как правило, определяется трудом, или не определяются вовсе, решение в диффузионном приближении не понижает общей точности модели. Это является основной причиной использования диффузионного приближения при моделировании практически всех высокоэнергетических процессов.

1.4     Выбор основного приближения. 

     Рассмотрим моделирование возможности роста квантовой точки. Для моделиpoвaния процесса выберем диффyзиoннoе приближение.

       В этом приближении предполагается, что существуют потоки из одной части системы в другую, что существует граница раздела, на которой выполняется закон локального разделения фаз.

Диффузионное  приближение – это приближение, которое предполагает, что различные  диффузионные потоки действуют независимо друг от друга. В этом случае полную систему уравнений можно разделить  на несколько более простых систем, описывающих или процесс тепла  или процесс диффузии. Диффузионное приближение условно можно разделить  на две части: аналитическое (если уравнение  в частных производных можно  решить в аналитическом виде) и  численное (если уравнение решается численным образом). Диффузионным это  приближение принято называть не потому, что оно описывает задачи диффузии, а потому что каждый из моделируемых в системе потоков, движется в направлении градиента  действующих потенциальных сил.

   Запишем уравнение переноса для распределения  концентраций в газовой фазе. Для  понижения размерности в качестве обобщенного параметра выберем, так называемое концентрационное сечение, которое представляет собой поверхность  на которой концентрации остаются постоянными (поверхность уровня).

   Концентрационное  сечение С(x,y)  может быть найдено из  уравнения непрерывности конвективного массопереноса

          (1.4.1)

     Где С_tot – основная газофазовая концентрация (=P/P_g T), n≡n(x,y,z,t) - мольная доля вида роста (C(x,y,z,t) – концентрация GaAs, υ≡υ(x,y,z,t) – поток скорости, D≡D(Т(x,y,z,t)) - двойной коэффициент диффузии компонентов III группы, α_Т – термический диффузионный показатель, Т≡(x,y,z,t) – рост температуры, Р – общее(полное) давление и R_g – газовая постоянная.

      Обратим внимание, что это равенство  действительно, как в случае  ограниченного массопереноса, так  и в случае кинетически ограниченного  процесса, т.к. кинетика реакций  поверхности представлена как  граничное состояние. Газофазовые  реакции могут включать в себя  добавление в правых отношениях, которые представляют собой генерацию  и аннигиляцию с помощью разновидностей  химических реакций, кроме того (это также происходит). Полное давление Р постоянно(Р=1 атм. в нашем случае), уравнение сводится к (переделанный в переменную С(х,у), используя n(x,y,z,t) «1 ) следующему частному дифференциальному уравнению 

 (1.4.2) 

С соответствующими граничными условиями: 

     С(0, y) = (T₀/T(y))C₀  0≤y≤h     (1.4.4)

     J(x,0) = kC(x,y)‌‌‌|_y=0  x>0      (1.4.5)

     J(x, h) = 0          (1.4.6) 

Где поток  J(x,y) дается как 

         (1.4.7) 

     Условия (α_Т+1) в уравнениях (1.4.2) и (1.4.7) выводятся из общего давления Р, которое постоянно, где общая газофазовая концентрация С_tot является функцией температуры (и высоты). В вышеуказанных уравнениях к обозначено переменным коэффициентом для реакций, которые ограничены кинетикой поверхности и С₀ которая является входной концентрацией для компонентов III группы. Граничное состояние уравнения (1.4.4)представляет внезапное изменение температуры сечения, где х=0. Предположения [2] ведут к следующим определениям величины R(х): 

     R(x) = J(x,0)        (1.4.8) 

     Температура сечения выводится из общего равенства  для теплового баланса 

         (1.4.9) 

Где р – это  концентрация газа, с_р – удельное тепло газа, к – коэффициент теплопереноса с температурной зависимостью и Т₀ – температура на верху реактора (=T(x,h)).

Из [2] (полностью  развитая температура сечения) следует, что левая часть уравнения  (1.4.9)равна 0. Решаемое уравнение (4..3) для случая β=0 (нет температурной зависимости  коэффициента теплопереноса к)  выводит линейный температурный градиент по направлению у: 

             (1.4.10) 

     Где Т_s определяет температуру вещества. Эта температура сечения не зависит от диффузионных процессов и скорости сечения. Действительное сечение не сильно отличается от этого линейного температурного градиента, т.к. было найдено экспериментально.

     Для приведения этой задачи к моделированию  диффузионным приближением, необходимо:

     1 Разделить потоки, т.е. связать входную скорость с входной температурой.

     2  Ограничить область моделирования

       Для решения первого вопроса,  будем предполагать, что на оси симметрии температура изменяется пропорционально скорости потока тепла, а на границе раздела нет перехода второго рода (перехода сразу из газовой фазы в твердую, минуя жидкую) .В этом случае, задачу можно представить как моделирование зависимости только выходных потоков  тепла  и концентраций от входных, и предположить, что граничные условия определяются условиями механического равновесия. 
 

1.5 Выбор  входных, выходных и оптимизируемых  параметров.

       Так как целью работы является моделирование возможности роста квантовой точки в зависимости от вариаций температуры, то входным параметром является температура. А выходным параметром является отклонение парциальных давлений. 
 
 

2. Выбор  основного блока из пакета  программ.

        Для моделирования возможности роста квантовой точки в зависимости от вариаций температуры воспользуемся пакетом программ TEPLO2D, так как он позволяет работать с тепловыми задачами.