Математические методы

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ, КОТОРЫЕ ОСНОВАНЫ НА НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Метод штрафных функций

Глава 2. Метод барьерных функций

Глава 3. Другие методы условной оптимизации

3.1 Пример решения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Математическое программирование занимается изучение экстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи математического программирования формулируются следующим образом: найти экстремум некоторой функции многих переменных f (x1, x2,…, xn) при ограничениях gi (x1, x2,…, xn) bi, где gi – функция, описывающая ограничения, а bi – действительное число, i = 1,…, m. Функция f называется функцией цели (целевой функцией).

В общем, виде задача нелинейного программирования состоит в определении максимального (минимального) значения функции f(x1, x2, …, xn) при условии, что ее переменные удовлетворяют соотношениям:

где f и g – некоторые известные функции n переменных, а bi – заданные числа.

В результате решения задачи будет определена точка Х*= (x1*, x2*, …, xn*), координаты которой удовлетворяют соотношениям и такая, что для всякой другой точки Х= (x1, x2, …, xn), удовлетворяющей условиям, выполняется неравенство f (x1*, x2*, …, xn*) ≥ f (x1, x2, …, xn) [f (x1*, x2*, …, xn*) ≥ f (x1, x2, …, xn)].

Если f и gi – линейные функции, то задача является задачей линейного программирования.

Соотношения образуют систему ограничений и включают в себя условия не отрицательности переменных, если такие условия имеются. Условия неотрицательности переменных могут быть заданы и непосредственно.

В евклидовом пространстве Еn система ограничений определяет область решений задачи. В отличие от задачи линейного программирования она не всегда является выпуклой.

Если определена область допустимых решений, то нахождение решения задачи сводится к определению такой точки этой области, через которую проходит гиперповерхность наивысшего (наименьшего) уровня: f (x1, x2, …, xn) = h. Указанная точка может находиться как на границе области допустимых решений, так и внутри неё.

Процесс нахождения решения задачи нелинейного программирования с использованием ее геометрической интерпретации включает следующие этапы:

1.      Находят область допустимых решений задачи, определяемую соотношениями (если она пуста, то задача не имеет решения).

2.      Строят гиперповерхность f (x1, x2, …, xn) = h.

3.      Определяют гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня или устанавливают неразрешимость задачи из-за неограниченности функций сверху (внизу) на множестве допустимых решений.

4.      Находят точку области допустимых решений, через которую проходит гиперповерхности наивысшего (наинизшего) уровня, и определяют в ней значение функции.

Или приводят задачу нелинейного программирования к задаче линейного программирования и решают нижеизложенными способами.

Задача является задачей линейного программирования, а следовательно, ее решение можно найти известными методами: 1) графический; 2) табличный (прямой, простой) симплекс – метод; 3) метод искусственного базиса; 4) модифицированный симплекс – метод; 5) двойственный симплекс – метод.

Глава 1. Метод штрафных функций

Совершенно иной подход используется в методах штрафных и барьерных функций. Ограничения задачи специальным образом отражаются в критерии, в результате чего критерий модифицируется, а исходная задача на условный экстремум сводится к задаче на безусловный экстремум.

В методе штрафных функций в критерий вводится штраф при нарушении условий задачи. Пусть в общем случае имеем задачу

f(x) → min;                                                                                    (1)

i(x)  0, ;                                                        (2)

i(x) = 0 , .                                                        (3)

Тогда можно построить вспомогательную функцию

(x) = f(x) + H(x),                                                         (4)

где H(x) –функция штрафа,  – параметр штрафа.

Вспомогательная функция играет роль модифицированного критерия, который при выполнении всех ограничений должен совпадать с исходным. Поэтому необходимо, чтобы в допустимой области Н(x) равнялась нулю, а вне ее была положительной. Для задачи (1.20)–(1.22) функция штрафа включает две составляющие , учитывающие ограничения-неравенства и ограничения-равенства соответственно и удовлетворяющие условиям

              (5)

Возможны разные конструкции функций, обладающих указанными свойствами. Типичные представители составляющих штрафной функции имеют вид

где р – натуральное число. Для дифференцируемости функций берут четные значения р, обычно р = 2. Чем больше , тем сильнее влияет функция штрафа и, значит, тем точнее выполняются условия задачи.

Примеры

Пример 1: f(x) = x → min; (x)=3 – x  0.

Ответ очевиден: x*=3. Теперь сведем эту задачу к определению безусловного экстремума вспомогательной функции. Построим штрафную функцию в соответствии с (1.24): H = [max (0, 3–x)]2. Тогда приходим к задаче =x+[max (0, 3-x)]2 min.

На Рисунок 1 и 2 показаны соответственно функции H и  для двух значений . Видно, что точки минимума вспомогательной функции с увеличением  приближаются к точке условного минимума исходной задачи. Такой же вывод следует из аналитического решения. Действительно, при x<3 вспомогательная функция имеет вид:  = x +  (3 – x)2.

Находим минимум этой функции:

Отсюда получаем

Пример 2: Рассмотрим влияние параметра шага в задаче

Здесь и

На Рисунок 3 построены линии уровня функции  для разных значений  и линия ограничения .

При =0 имеем =f, и минимум  достигается в точке безусловного минимума f: x1=x2=1. С увеличением  меняется форма линий уровня  и положение минимума. При =1 минимум  смещается к линии ограничения, а при =1000 он практически точно совпадает с условным минимумом задачи.

В обоих примерах с увеличением  генерируемые точки приближаются к оптимальному решению извне допустимого множества. Поэтому ряд авторов называют рассматриваемый метод методом внешних штрафов.

Таким образом, чтобы безусловный минимум вспомогательной функции был близок к условному минимуму, необходимо брать очень большое значение . Однако при больших  возникают серьезные трудности при поиске минимума вспомогательной функции. Поэтому предлагается решать последовательность задач минимизации  с возрастающими значениями . При этом в качестве начальной точки следующей задачи берется оптимальная точка предыдущей. Такой прием использован в следующем алгоритме штрафных функций.

Алгоритм.

1. Задать: начальную точку x0, точность , начальное значение 0 и число  >1.

2. Минимизировать (x) одним из методов безусловной оптимизации, в результате чего определяется .

3. Проверить: если , то остановиться, приняв за оптимальное решение задачи.

4.                  Положить , за начальную точку принять и вернуться на шаг 2.

Рекомендуется выбирать значения параметров алгоритма из диапазонов: 0(0,1], (1,10]. Начальную точку следует задавать в недопустимой области.

Пример 3: Алгоритмом штрафных функций решить задачу

Возьмем начальную точку x0=(–5;5), 0=0,21, =5 и =0,0001. Применяя для минимизации  метод Ньютона, получаем результаты, представленные в табл. 1.

Как следует из табл. 1, решение с заданной высокой точностью получено за 11 итераций алгоритма. Заметим, что несмотря на увеличение  значение H сходится к нулю, обеспечивая сходимость алго­ритма.

Траектория поиска и линии уровня функции f изображены на Рисунок 4.

Таблица 1 - Минимизация функции  методом Ньютона

Пример 4: Алгоритмом штрафных функций решить задачу

Этот пример показан на Рисунок 5. Поиск проводится из начальной точки (–2;–7) с параметрами 0=0,1 и =2.

Здесь, как и в предыдущем примере, на первой итерации алгоритма движение направлено в сторону безусловного минимума целевой функции. Это объясняется небольшим начальным значением параметра штрафа, при котором основное влияние на направление оказывает целевая функция. С возрастанием  направление поиска ориентируется на условный экстремум.

Пример 5: Алгоритмом штрафных функций решить задачу

Этот пример приведен на Рисунок 6. Поиск производился при 0=1 и =10. Такие параметры обусловили другой характер движения к условному минимуму: первая итерация уже не приводит в окрестность безусловного экстремума и траектория не имеет резких изменений направ­ления поиска.

Таким образом, выбор параметров поиска имеет существенное влияние на эффективность алгоритма.

Глава 2. Метод барьерных функций

В отличие от метода штрафных функций, данный метод применим к задачам с ограничениями только в виде неравенств.

Суть метода заключается в том, что поиск начинается обязательно из внутренней точки и последующие точки не должны выходить из допустимой области. С этой целью задача модифицируется так, что при приближении к границе допустимой области растет барьер, препятствующий выходу на границу.

Исходная задача на условный экстремум задается в виде

f(x) → min;                                                                                    (6)

i(x)  0, .                                                        (7)

Она преобразуется в задачу безусловной минимизации вспомогательной функции

(x) = f(x) + B(x),

где B(x) – барьерная функция,  – параметр барьера.

Обязательное условие: внутренность области не должна быть пустой (имеются точки, в которых i (x) < 0).

Барьерная функция строится так, чтобы она была неотрицательной и непрерывной на допустимом множестве и стремилась к бесконечности при приближении изнутри к границе:

Как и в случае штрафной функции, существует несколько конструкций B(x), удовлетворяющих этим условиям. Но в основном используется барьерная функция в виде