Математическая логика

Понятия высказывания. Логическая операция над высказыванием.

Логика - от (греческого –понятия, рассуждение, разум) наука о способах рассуждений и доказательств независимо от того где и для чего они используются.

Основатель математической логики Джордж Буль.

Высказывание– это повествовательное предложение, утверждающее что-либо, о чем-либо, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно.

Истинное значение высказывания обозначать будем –« и», «1», а ложное – «  », « »

Примеры высказываний:

-из арифметики:

«2+2=4 - истинно»

«4+3=5 - ложно»

-из физики:

«Сила притяжения тел обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. - истинно»

«Тело падает на землю с ускорением пропорциональным своей

массе. - ложь»

- из информатики:

«Бит - это фундаментальная единица измерения

информация. - истинно»

«Информатика – наука о термической обработке металлов. - ложь»

-из жизни:

«карась – рыба. - истинно»

«Лондон столица России. - ложь»

Высказывание, представляющее собой одно утверждение называется – простым (элементарным)

Высказывание, которое получается из простых с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если то», и т.д принято называть- сложным (составным).

Найдите высказывание:

-Марс не планета солнечной системы. – истинно

-Как хорошо быть генералом! – ложь

-Не все то золото, что блестит. – ложь

-Не нарушайте правил дорожного движения!- ложь

-В романе «Война и мир» 3432536 слов. – не истинно, данное высказывание на данный момент не установить

Логические операции

Логическая операция- это способ построения сложного высказывания, при котором истинное значение сложного высказывания полностью определяется истинностью исходных высказываний.

Базовые логические операции

1. Отрицание (инверсия)- высказывание Х называется новое высказывание, которое считается истинным  если Х ложно, и ложным если Х истинен.

Отрицанием обозначается   х или х

И читается так «Не х» или «Неверно, что х»

2. Конъюнкция (логическое умножение)- конъюнкция двух высказываний Х и У называется новое высказывание, которое считается истинен если оба высказывания Х и У истинен, и ложным если хотя бы одно из них ложным.

Конъюнкция обозначается х   у, х  у

И читается как «Х и У»

3. Дизъюнкция (логическое сложение)-дизъюнкция двух высказываний Х и У называется новое высказывание которое считается истинным если хотя бы одно из высказываний истиннино, и ложным если  оба ложны.

Дизъюнкция обозначается  х    у

И читается так х или у

4. Импликация – двух высказываний х  и  у называется новое высказывание которое считается ложным если х - истина, а у – ложное и истинным во всех остальных случаях

Импликация обозначается х     у

И читается «если х, то у»,  из х следует у

5. Эквиваленция – двух высказываний х  и  у называется новое высказывание которое считается истинным, когда оба высказывания

х  и  у  либо одновременно истинны либо одновременно ложны и ложным во всех остальных случаях.

Эквиваленция обозначается  Х     У

И читается «для того чтобы  х  и достаточно чтобы у», «х тогда и только тогда у »

Основные формулы алгебры – логики

Логическая формула – всякое сложное высказывание, которое может быть получена из простых путем применения  операций.

Например:

Нам даны три высказывания  х, у, z.

1.    А= (х  у)  z – дизъюнкции х и у и отрицания высказывания z

2.    В= х   (у    (х    z)) – это импликация посылкой которой является высказывание х , а заключением (следствием) – отрицание дизъюнкции высказывание у и конъюнкция высказываний х  и  z

= - знак равносильности

В математической логике порядок выполнения операций ( порядок убывания по старшинству)

- отрицание

- конъюнкция

- дизъюнкция

- импликация или экваленция

Порядок выполнения можно нарушить если поставить скобки.

В = х  (у  (х  z))=  х  у  (х  z)

Логическое значение формулы полностью зависит от логических значений входящих в не простые высказывания.

Пусть х = 1, у = 1, z = 0

А = (1  1)  0 =1  1=1

Пусть х = 0, у = 1, z = 0

А = (0  1)  0 =0  1=1

Пусть х = 0, у = 1, z = 1

А = (0  1)  1 =0  0=0

Задание 1

Построить таблицу истинности для следующей логической формуле

х    у    х    у

Задание 2.

Построить таблицу истинности для логической формуле.

А = ( х  у)  ( х  у  х  у)

Задание 3.

А = х  у   ( у  х    z)