Марковские процессы

Аннотация

              Целью курсового проекта является создание автоматизированного метода решения Задачи Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.

              Данный курсовой проект состоит из трёх частей:

—            Программы, написанной на языке Delphi 6.0;

—            Пояснительной записки, содержащей документацию и к её применению;

—            Графической части.

Введение

   Математическое  моделирование позволяет более глубоко и объективно взглянуть на модель и найти способ её преобразования. Модель, в данном случае, представляет собой набор цифр и функций по которым работают некоторые её компоненты.

   Таким образом, с помощью применения метода Динамического Программирования (Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.) и создания программы на основе этого метода, будет выполнена цель курсового проекта.

1. Постановка задачи

1.1. Формулировка условия задачи

Многие операций, которые приходится анализировать под углом зрения выбора оптимального решения развиваются как случайные процессы, ход и исход которых зависит от ряда случайных фактов сопровождающих эти операций.

Для того чтобы вычислить числовые параметры, характеризующие эффективность таких операций нужно построить некоторую вероятностную модель явления, учитывающую сопровождающие его случайные факторы.

Для математического описания многих операций, развивающихся в форме случайного процесса, может быть с успехом применён математический аппарат, разработанный в теории вероятностей для так называемых Марковских случайных процессов.

Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход системы из состояния в состояние возможен в любой, наперёд не известный случайный момент t.

Переход может осуществляться, вообще говоря в любой момент. Например, выход из строя (отказ) любого элемента аппаратуры может произойти в любой момент времени;

Окончание ремонта (восстановления) этого элемента также может произойти в заранее не зафиксированный момент и т.д.

Для описания таких процессов в ряде случаев может быть с успехом применена схема Марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, который позволяет отразить вероятность состояния системы как функций времени для этого необходимо построить уравнение Калмогорова.

1.2. Определение целей моделирования, их приоритеты

В последнее время широкое распространение получило моделирование математических, физических и других процессов на компьютере. Для этого используется не аналитический способ исследования, а специальный алгоритм, построенный на его основе.

Целью курсового проекта на тему “Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний” является реализация на компьютере специального алгоритма вывода системы уравнений методом Колмогорова.

Моделируемый алгоритм по исходным (входной информации) данным позволяет получить информацию о состоянии процесса в произвольные моменты времени.

Цель моделирования – это сохранить или преобразовать информацию по специальной структуре, что вносит порядок в рассматриваемый объект, элементы объекта и их отношения.

Из исследования подмоделей следует, что модель – это некоторая система объектов или способов изображения описания.

1.3 Описание данных

В постановке задачи присутствуют следующие данные:

       S1 – дискретное состояние

       S1, S2,…,Sn – ряд дискретных состояний

       i – порядковый номер состояния

       t – любой момент времени

       Pij – переходная вероятность

       λij – плотность вероятностей перехода

2. Предмодельный анализ

2.1. Анализ существующих аналогов и подсистем

К аналогичным системам можно отнести «Пуассоновские потоки событий и непрерывные Марковские цепи».

Рассмотрим некоторую физическую систему S с дискретными состояниями S1, S2,…, Sn, которая переходит из состояния в состояние под влиянием каких-то случайных событий, например, вызовы на телефонной станции, выходы из строя (отказы) элементов аппаратуры, выстрелы, направленные по цели и т.д.

Будем себе это представлять так, будто события, переводящие системы из состояния в состояние, представляют собой какие-то потоки событий (потоки вызовов, потоки отказов, потоки выстрелов и т.д.).

Пусть система S с графом состояний, в момент t находится в состоянии Si и может перейти из него в состояние Sj под влиянием какого-то пуассоновского потока событий с интенсивностью λij: как только появляется первое событие этого потока, система мгновенно переходит (перескакивает) из состояния Si в состояние Sj. Вероятность этого перехода за элементарный промежуток времени Δt (элемент вероятности перехода) равна λijΔt. Таким образом, плотность вероятности перехода λij в непрерывной цепи Маркова представляет собой не что иное, как интенсивность потока событий, переводящего систему по соответствующей стрелке.

2.2. Анализ технического обеспечения среды моделирования

Для разработки и функционирования программы составленной для решения задачи математического исследования, а именно Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, необходима электронная вычислительная машина типа РС с такими техническими параметрами:

-Процессор

Intel Pentium I – 133 MHz

- Оперативная память

32 Mb

- Операционная система

WIN 98

- 350 Mb свободного места на диске

2.3-2.4. Анализ программного, математического обеспечения среды моделирования

В процессе выполнения курсового проекта необходимо разработать программное обеспечение на языке визуального программирования Delphi 6.0.

Delphi 6.0 отвечает требованиям

            Понятность.

            Универсальность.

            Поддержку математических модулей

            Практичность.

Язык программирования Delphi 6.0, был создан на основе языка программирования Pascal . Команды и операторы логически подобранны корректно, легко запоминаются и т.д. и т.п.

Delphi - это комбинация нескольких важнейших технологий:

       Высокопроизводительный компилятор в машинный код

       Объектно-ориентированная модель компонент

       Визуальное (а, следовательно, и скоростное) построение приложений из программных прототипов

       Масштабируемые средства для построения баз данных

Компилятор, встроенный в Delphi, обеспечивает высокую производительность, необходимую для построения приложений в архитектуре “клиент-сервер”.  Этот компилятор в настоящее время является самым быстрым в мире, его скорость компиляции составляет свыше 120 тысяч строк в минуту на компьютере 486DX33. Он предлагает легкость разработки и быстрое время проверки готового программного блока, характерного для языков четвертого поколения (4GL) и в то же время обеспечивает качество кода, характерного для компилятора 3GL.  Кроме того, Delphi обеспечивает быструю разработку без необходимости писать вставки на Си или ручного написания кода (хотя это возможно).

3. Анализ задачи и модели

3.1. Разработка структур данных             

i, j – переменные циклов

formul – переменная вывода результата формул на экран

х – переменная создания таблицы

3.2. Разработка входных и выходных спецификаций

В качестве входных спецификаций используется матрица состояний.