Линейные представления групп движений правильных многогранников

Петрозаводский государственный университет.

Математический факультет.

Кафедра геометрии и топологии.

Линейные представления групп движений правильных многогранников.

(Курсовая работа)

Выполнил:

студент IV курса

Сыромолотов Е. Н.

Руководитель:

Платонов С. С.

Петрозаводск.

2006 г.

Введение.

Цель данной курсовой работы заключается в ознакомлении с теорией линейных представлений групп и построении некоторых представлений: представлений групп движений некоторых многогранников.

Теория представлений групп.

Определение. Линейное представление группы G в векторном пространстве V называется функция, которая сопоставляет каждому элементу линейный оператор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) ;

2) .

Определение. Линейное представление группы G в векторном пространстве V называется гомоморфизм .

Определение. Представление называется конечномерным, если пространство V представления конечномерным, тогда размерность пространства V называется размерностью представления и обозначается , и бесконечномерным в противном случае.

Если T конечномерно и , то, выбрав в V базис e1, e2, ..., en, мы можем задать операторы матрицами n-го порядка:

, где

Определение. Линейные представления (T1, V1) и (T2, V2) группы G называются эквивалентными, если существует линейный изоморфизм , такой что .

Теорема. Линейных представления (T1, V1) и (T2, V2) – эквивалентны dim V1= dim V2 и в некоторых базисах их матричные представления совпадают.

Определение. Пусть - линейное представление группы G в векторном пространстве V. Подпространство называется инвариантным относительно представления T, если , .

Определение. Линейное представление называется неприводимым, если  не существует нетривиального подпространства  , инвариантного относительно T.

Определение. Линейное представление называется вполне приводимым, если для любого  инвариантного подпространства  существует инвариантное дополнение W.

Определение. Пусть V1, V2, ..., Vm – линейные пространства, - их прямая сумма. Пусть в каждом Vk задано представление Tk одной группы G. Определим линейный оператор T(g) в V:. Представление Т в пространстве V называется прямой суммой представлений T1, T2, ..., Tm и обозначается .

Теорема. Если Т – представление в конечномерном пространстве V, то оно раскладывается в прямую сумму конечного числа неприводимых представлений.

Представления конечных групп.

Теорема. Любое представление конечной группы G вполне приводимо.

Теорема. Пусть T1, T2, ..., Tk все неэквивалентные неприводимые представления конечной крупы G, dim Ti=ni, тогда .

Теорема. Пусть G – конечная группа, тогда число неприводимых неэквивалентных представлений группы G равно числу её классов сопряжённых элементов.

Группа диэдра.

Группа диэдра – это группа движений правильного n-угольника. Она содержит в себе 2n движений: n поворотов относительно центра многоугольника на углы и n симметрий. Для данных повотов и симметрий выполняется следующее равенство . Поворот на угол  можно представить как выполнение поворота на угол k раз. Любую симметрию можно представить комбинацией симметрии S1 и поворота : . Таким образом и S1 являются образующими для группы.

Рассмотрим её классы сопряжённых элементов.

а) Если n – нечётное, т.е. n=2k+1, то количество классов сопряжённых элементов у неё k+2: один состоящий из единичного элемента, k классов состоят из ненулевого поворота и обратного и ещё один – это класс симметрий.

Таким образом, все неприводимые представления –  2 одномерных и k двумерных.

б) Если n – чётное, т.е. n=2k, то количество классов сопряжённых элементов у неё k+3: один состоящая из единичного элемента,один – из поворота на , k-1 классов состоят из ненулевого поворота и обратного ему,один – это класс симметрий, оси которых проходят через середины противоположных сторон, и ещё один - класс симметрий, оси которых проходят через противоположные вершины. .

Таким образом, все неприводимые представления –  4 одномерных и k-1 двумерных.

Найдём все неприводимые представления. Для удобства обозначим ,

I V1

Пусть и . По условию , . Тогда , . Таким образом , .НО должно выполнятся равенство и следовательно . Подставляем туда значения и и получаем , т.е. . При подстановки значений a и b получаем или . Это означает что , . Так как , т.е. , то m может быть либо 0 либо 1. Если m=0, то k=0 b и, следовательно, . Если m=1, то , что может выполнятся когда n – чётное, тогда .

Получили:

а) Если n – нечётное, то существуют два одномерных представления:

.

б) Если n – нечётное, то существуют два одномерных представления:

.

II V2

Пусть - собственный вектор оператора , т.е. , причём . Тогда также будет собственным вектором оператора , так как . 1) Если , тогда . Если коллинеарен , тогда одномерное пространство образованное вектором является инвариантным относительно представления T, следовательно T не является неприводимым относительно V2. Если же не коллинеарен , тогда  оператор скалярен, т.е. .Тогда собственный вектор оператора будет задавать одномерное инвариантное пространство относительно представления T. Следовательно   2) Если , тогда , и следовательно векторы и линейно независимы. Тогда в базисе , оператор записывается матрицей , а оператор - . Если n – чётное, то получили двумерных неприводимых представления. Если n – нечётное, то получили двумерных неприводимых представления.

Пример: Рассмотрим двумерное неприводимое представление группы движений правильного треугольника.

, , , ,

Группа движений правильного тетраэдра.

Группа движений правильного тетраэдра – это группа движений, переводящих правильный тетраэдр в себя. Каждому движению тетраэдра ABCD соответствует подстановка его вершин. Произведению двух движений соответствует произведение соответствующих подстановок. Двум различным движениям s и t соответствуют две различные подстановки, так как иначе нетождественному движению st-1 соответствовала бы тождественная подстановка, сохраняющая все вершины на месте. Таким образом, получили, что группа движений правильного тетраэдра изоморфна симметрической группе S4. Нам осталось найти все неприводимые представления симметрической группы S4. Количество элементов симметрической группы – 24. Каждая подстановка разлагается  в произведение циклов. Две подстановки сопряжены тогда и только тогда, когда наборы длин циклов каждой перестановки одни и те же. Это можно отобразить схематично. Число классов сопряжённых элементов у неё – 5.

Получили, что все неприводимые представления симметрической группы S4 – это два одномерных, одно двумерное и два трёхмерных. Найдём их.

I  V1

Рассмотрим фактор-группу , где A4 – это подгруппа всех чётных перестановок группы S4. Она изоморфна группе Z2. А у группы Z2 есть 2 неприводимых одномерных представления: тривиальное и . Получили 2 неприводимых представления для группы S4: - тривиальное и Т2, для которого Т2(s)=1, если s – чётное, т.е. для поворота, и Т2(s)=-1, если s – нечётное, т.е. для движения второго порядка.

II  V2

Рассмотрим подгруппу N симметрической группы S4. . Группу S4 можно представить как сумму смежных классов по группе N:

, ,

,     ,

,      .

Фактор-группа изоморфна группе S3. А это ничто иное, как группа движений правильного треугольника. Как мы рассматривали выше, у неё существует одно двумерное неприводимое представление.

Получили, что двумерное представление группы S4 можно представить: , где .

III V3

Рассмотрим четырёхмерное векторное пространство V4. На нём зададим базис {e1,e2,e3,e4}. Рассмотрим в этом пространстве линейное представление T группы S4 , которое действует так: T(s)ei=es(i). Определитель матричного представления равен - чётности перестановки s. Это представление не является неприводимым в пространстве V4, так как существует векторное подпространство , которое является инвариантным относительно линейного представления Т. Однако T является неприводимым относительно векторного пространства V3. В качестве примера построим матричное представление в V3. Базисом в этом пространстве является {v1,v2,v3}, где v1=e1-e2, v2=e1-e3, v3=e1-e4. , , .

.

Второе трёхмерное линейное представление можно получить как , где - чётности перестановки s. Если предположить, что оно приводимо, т.е. существует инвариантное подпространство U, то это подпространство будет инвариантно и относительно представления Т(s). Действительно,  пусть x – вектор из U и  , то .  не изоморфно так как определитель матричного представления равен единице для любых s из S4, в то время как определитель матричного представления  равен чётности перестановки s.

Итак мы получили два неприводимых трёхмерных и неэквивалентных представления: и .

Группа движений куба.

Группа движений куба – это группа движений, переводящих куб в себя. Каждому вращению куба соответствует подстановка его диагоналей. Произведению двух вращений соответствует произведение соответствующих подстановок. Всего вращений – .Двум различным вращениям s и t соответствуют две различные подстановки, так как иначе нетождественному движению st-1 соответствовала бы тождественная подстановка, сохраняющая все диагонали на месте, а это либо тождественное движение, либо перевод вершин куба в противоположные. Последнее движение – это движение второго порядка. Таким образом, получили, что группа вращений куба изоморфна симметрической группе S4.

У группы вращений куба можно выделить образующие элемента. Например, первый образующий элемент - это поворот на вокруг оси проходящей через центры граней и (обозначим его - x), а второй - это поворот на вокруг оси проходящей через центры граней и (обозначим его - y). Если диагональ, содержащую вершину А, обозначить 1, содержащую вершину В, обозначить 2, содержащую вершину С, обозначить 3, содержащую вершину D, обозначить 4, то элементу х будет соответствовать подстановка (1432), а элементу у – (1342).

В группе движений есть симметрия S относительно плоскости проходящей через середины рёбер АВ, CD, и . Любое движение куба второго порядка можно представить как композицию S и какого-нибудь поворота из группы вращений куба. Действительно, если - это движение куба второго порядка, то композиция является движением первого порядка, т.е. поворот куба. Следовательно,. Таким образом, мы получили три образующих элемента для группы движений куба: x - поворот на вокруг оси проходящей через центры граней и , y - поворот на вокруг оси проходящей через центры граней и , S – симметрия относительно плоскости проходящей через середины рёбер АВ, CD, и . Для данных образующих выполняются следующие тождества: и . Всего движений куба - .

Пусть у нас есть какое-нибудь представление T группы движений куба. Если мы это представление ограничим группой вращений куба, то получим представление . А так как группа вращений куба изоморфна симметрической группе S4, то представление в матричном виде будет совпадать с каким-нибудь представлением группы S4. Таким образом, нам надо представление группы S4 дополнить линейным оператором для элемента S.

I V1

, ,. , так как . - выполняется.

, ,. , так как . - выполняется.

Получили четыре представления:

I V2

, , .

. Так как , то получим, что и .

. Так как , то получим, что и .

Получили:

, откуда.

Получили, что , а так как , то . Так что . Получили два двухмерных представления:

III V3

1)

. Так как , то получим:

     (1)

. Так как , то получим:

     (2)

Из систем (1) и (2) получим: d=e=g=i=0, a=b=c, f=h=-a.

. Так как ,то . Так что .

Для , выкладки абсолютно такие же и результат такой же.

Получили четыре трёхмерных пространства:

Итого: мы получили четыре одномерных представления, два двумерных и четыре трёхмерных. . Значит, этим ограничиваются все неприводимые представления группы движений куба.

Группа движений октаэдра.

Центры граней октаэдра являются вершинами куба. Поэтому группы движений куба и октаэдра изоморфны. Следовательно, их представления совпадают.

Список литературы.

Э. Б. Винберг “Линейные представления групп”. Москва: Наука, 1985 г.

М. А. Наймарк “Теория представлений групп”. Москва: Наука, 1976 г.

И. В. Проскуряков “Сборник задач по линейной алгебре”. Москва: Наука, 1984 г.

7