Линейная алгебра

2. Линейная  алгебра

 

8. Методы  решения систем

 

     Существует  несколько методов решения систем линейных алгебраических уравнений (1):

     1) метод подстановки - данный метод изучался в курсе элементарной математики в средней школе,

     2) метод Гаусса,

     3) метод Крамера,

     4) метод обратной матрицы. 

1.   Метод Крамера

 

     Теорема 4. (Теорема Крамера.) Пусть дана квадратная система линейных уравнений с неизвестными. Если , то система имеет единственное решение , , …, . Здесь - определители, которые получаются из заменой -го столбца столбцом свободных членов . 

     Рассмотрим  случай, когда  . 

 

     Если  ,        то   ,   ,

       где 

,         . 

     Это формулы Крамера для нахождения решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.

     Пример 5. Найти решение системы методом Крамера.

     Решение. Найдем

тогда

,     .

2. Через обратную матрицу: , если .

 

     Пусть  задана система  и существует обратная матрица . Необходимо найти вектор - вектор решения системы. Тогда домножаем левую и правую части уравнения на матрицу :

,

т. к.

, то . 

3.   Метод Гаусса

 

     Прямой  ход 

     Выпишем расширенную матрицу системы (1) и путем эквивалентных преобразований приведем ее к трапецеидальному виду. Возможны следующие варианты:

     1. Получим матрицу вида 

 

Здесь есть строка вида . Значит  , . Отсюда , следовательно, система несовместна.

     2. Получим матрицу вида  

. 

Система совместна, т. к. нет строки вида и .

      Возможны два случая: 

     а) если , то система имеет единственное решение, 

     б) если , то система имеет бесконечное множество решений.  

     Решения системы находят обратным ходом  метода Гаусса. 

     Обратный  ход 

     а) .

     Выписываем  последнее уравнение в эквивалентной  системе и находим  . Затем переходим к уравнению, подставляя в него , находим и так далее. 

     б) .

     Определение 15. Базисным минором матрицы называется отличный от нуля угловой минор, порядок которого равен .

     Первые  неизвестных считаем базисными неизвестными, а остальные свободными, придавая им следующие значения: 

. 

Далее последовательно выражаем базисные неизвестные через свободные. Из последнего ненулевого уравнения находим  и т. д.

     Получаем  общее решение системы  

. 

     Придавая  любые значения из , получим бесконечное множество частных решений системы. 

     Пример  6. Найти решение системы методом Гаусса. 

     Решение.  

     Прямой  ход.  

     Преобразуем эквивалентными преобразованиями расширенную  матрицу системы. 

 

. 

     Итак, , система совместна.  

     Т. к. , система имеет единственное решение. 

     Обратный  ход.

     Запишем эквивалентную систему:   

     Из  последнего уравнения  , из второго уравнения , из первого уравнения . 

     Ответ: , , . 

     Пример  7. Найти решение системы методом Гаусса. 

     Решение.

. 

Система несовместна, так как  и . 

     Ответ: Решений нет. 

     Пример  8. Найти решение системы методом Гаусса. 

     Решение.

. 

     Т. к. , то система совместна. 

     Т. к. , , то система неопределенная (имеет бесконечное множество решений). 

     Итак, − базисный минор, а − базисные неизвестные, − свободная неизвестная.  

     Положим . Составим систему уравнений:  

     Из  последнего уравнения: .  

     Из  первого уравнения: .  

     Итак, общее решение системы:  

, , ,        где  ;  

 − общее решение. 

Полагая любому числу из  , получим бесконечное множество частных решений системы.

     Проверка:

 

      Решение найдено верно. 

     Положим, , тогда получим частное решение: , , .

 − частное решение. 

Ответ:

− общее решение, − частное решение. 

Однородные  системы линейных уравнений 

     Определение 16. Система вида называется однородной.

     Однородная  система всегда совместна. Очевидно, что у нее есть решение . Это решение называется нулевым или тривиальным.

     1. Если число неизвестных равно рангу основной матрицы, т. е. , то система имеет единственное нулевое решение.

     2. Если , то общее решение системы находится методом Гаусса.  

     Определение 17. Пусть задана система векторов и существуют постоянные не равные нулю. Тогда вектор  

 

называется  линейной комбинацией векторов . 

Свойства  решений однородной системы уравнений 

     1. Если решение системы, то и , тоже является решением этой системы.

     2. Любая линейная комбинация решений однородной системы уравнений является решением этой системы (для неоднородной системы уравнений это свойство не выполняется). 

     Среди решений однородной системы уравнений, являющихся -мерными векторами, можно выбрать конечную максимально независимую систему решений (векторов). Т. е. любое другое решение будет являться линейной комбинацией этих решений. 

     Определение 18. Любая максимальная линейно независимая система решений однородной системы уравнений называется фундаментальной системой решений (Ф.С.Р.).

     Теорема 5. (ФСР) Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений состоит из решений , где  − число неизвестных системы, а – ранг матрицы системы.

     Придавая  свободным неизвестным  значения  

   получаем Ф.С.Р. − . 

Связь между решениями  однородной и неоднородной систем 

     Пусть дана неоднородная система уравнений  . 

     Определение 19. Однородная система называется приведенной системой для неоднородной системы. 

     Свойства  решений: 

     1. Сумма любого решения неоднородной системы с любым решением приведенной системы будет решением неоднородной системы.  

     2. Разность двух решений неоднородной системы является решением приведенной системы. 

     Из  свойств вытекает, что:

     найдя одно решение неоднородной системы, и складывая его с каждым решением приведенной системы, мы получаем все решения неоднородной системы. 

     Пример  9. Найти общее решение однородной системы решений и фундаментальную систему решений: 

 

     Решение. Выпишем матрицу системы и приведем ее к трапецеидальному виду:

     . 

     Базисный  минор  ,

       базисные неизвестные и ,

       свободные неизвестные , .

     Исходная  система примет следующий вид:  

     Выразим базисную неизвестную через свободные из второго уравнения системы:         .

     Из  первого уравнения системы выразим базисную неизвестную :  

     . 

     Итак, общее решение    . 

     Ф.С.Р. состоит из  решений.

     Придадим следующие значения константам и : 

     при и получаем  ,