Автор работы: Пользователь скрыл имя, 22 Ноября 2012 в 14:31, реферат
Цель моего исследования :разобрать предмет и методы исследования этой дисциплины.
Задачи:
- дать определение линейной алгебре;
-дать краткую историческую справку этой дисциплине;
-выяснить методы и инструменты исследования дисциплины.
Введение.
1.Линейная алгебра.
Заключение.
Список литературы.
Введение.
1.Линейная алгебра.
Заключение.
Список литературы.
Введение.
Тема данного реферата-«Линейная алгебра».
Лине́йная а́лгебра — важная в приложениях часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно. Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках.
Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как теория матриц и определителей, и естественно привело к появлению теории векторных пространств.
Линейные уравнения, как уравнения прямых и плоскостей, стали естественным предметом изучения после изобретения Декартом и Ферма метода координат (около 1636). Гамильтон в своей работе 1833 представлял комплексные числа в виде, как мы бы сейчас сказали, двумерного вещественного векторного пространства, ему принадлежит открытие кватернионов, а также авторство термина «вектор». Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867). Грассман в работах 1844 и 1862 года изучает то, что мы теперь назвали бы алгебрами, и его формальное изложение по существу является первой аксиоматической теорией алгебраических систем. В явном виде аксиомы линейного пространства сформулированы в работе Пеано (1888).
Цель моего исследования :разобрать предмет и методы исследования этой дисциплины.
Задачи:
-
дать определение линейной
-дать краткую историческую справку этой дисциплине;
-выяснить
методы и инструменты
1.Линейная алгебра.
Линейная алгебра - раздел алгебры, в котором изучаются векторные (линейные) пространства, линейные операторы (линейные отображения), линейные, билинейные и квадратичные функции (функционалы или формы) на векторных пространствах.
Исторически первым разделом линейной алгебры была теория линейных уравнений (алгебраических). В связи с решением систем линейных уравнений возникло понятие определителя. В 1750 было получено правило Крамера для решения системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. В 1849 был предложен метод Гаусса решения систем линейных уравнений с числовыми коэффициентами. Этот метод является простейшим по числу применяемых операций и используется с различными изменениями также для приближенного решения систем уравнений, коэффициенты которых также известны приближенно.
В связи с изучением систем линейных уравнений и их определителей появилось понятие матрицы. Понятие ранга матрицы, предложенное Г. Фробениусом (G. Frobenius) в 1877, позволило явно выразить условия совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах коэффициентов этой системы (теорема Кронекера - Капелли). Тем самым в конце 19 в. было завершено построение общей теории систем линейных уравнений.
Если в 18 и 19 вв. основное содержание линейной алгебры составляли системы линейных уравнений и теория определителей, то в 20 в. центральное положение занимают понятие векторного пространства и связанные с ним понятия линейного преобразования, линейной, билинейной и полилинейной функции на векторном пространстве.
Векторным, или линейным, пространств о м над полем К наз. множество V элементов (называемых векторами), в котором заданы операции сложения векторов и умножения вектора на элементы из поля К, удовлетворяющие ряду аксиом ( Векторное пространство). Рассматриваются также векторные пространства над телами. Одним из важнейших понятий теории векторных пространств является понятие линейного отображения, т. е. гомоморфизма векторных пространств над одним н тем же полем. Линейным оператором, или линейным преобразованием, наз. линейное отображение пространства в себя (т. е. эндоморфизм векторного пространства). Если пространство Vконечномерно, то, выбирая в Vбазис e1, e2, . .., е п и полагая
получают квадратную матрицу порядка п, которая называется матрицей линейного преобразования j в данном базисе.
Векторное пространство Vнад полем К, снабженное дополнительной операцией умножения векторов, удовлетворяющей некоторым аксиомам, называется алгеброй над К( Кольца и алгебры, Операторное кольцо).
Все линейные преобразования пространства Vотносительно естественно определенных операций сложения, умножения и умножения линейных преобразований на элементы поля Кобразуют алгебру над полем К. Все квадратные матрицы фиксированного порядка с элементами из поля Ктакже образуют алгебру над К. Указанное выше соответствие между линейными преобразованиями пространства Vи их матрицами в заданном базисе является изоморфизмом этих алгебр, что позволяет формулировать теоремы о линейных преобразованиях параллельно на матричном языке и при их доказательстве использовать теорию матриц.
Большое значение в теории линейных преобразований имеет выбор базиса, в котором матрица преобразования принимает в каком-то смысле простейший вид. В случае алгебраически замкнутого поля таким видом будет, например, жорданова нормальная форма матрицы.
Важным случаем линейного отображения является линейная функция (линейный функционал) - линейное отображение Vв К. Все линейные функции на Vотносительно естественным образом определенных операций сложения и умножения на элементы из поля Ксами образуют векторное пространство V* над К, наз. пространством, сопряженным с пространством V. Векторы пространства Vможно в свою очередь рассматривать как линейные функции на сопряженном пространстве V*, полагая x(f) = f(x).для всех Если Т" конечномерно, то тем самым устанавливается естественный изоморфизм между Vи V**.
Обобщением понятия линейной функции является понятие полилинейной функции, т. е. функции со значениями в К, зависящей от нескольких аргументов (из которых одни принадлежат векторному пространству V, а другие - сопряженному пространству V*), линейной по каждому аргументу. Эти функции называются также тензорами. Их изучением занимается полилинейная алгебра. Частный случай полилинейных функций - билинейные функции (Билинейное отображение). Кососимметричные полилинейные функции называются также внешними формами.
На основе понятия векторного пространства определяются различные классические пространства, изучаемые в геометрии: аффинные пространства, проективные пространства и др.
Теория векторных пространств имеет важные связи с теорией групп. Все автоморфизмы n-мерного векторного пространства Vнад полем Кобразуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц порядка пс элементами из К. Гомоморфное отображение некоторой группы Gв эту группу автоморфизмов называют линейным представлением группы Gв пространстве V. Изучение свойств представлений составляет предмет теории линейных представлений групп.
Классическая теория линейных уравнений и определителей была обобщена на случай, когда вместо чисел или элементов поля рассматриваются элементы произвольного тела.
Естественным обобщением понятия векторного пространства над полем К является понятие модуля над произвольным кольцом. Основные теоремы линейнй алгебры перестают быть верными при замене векторного пространства на модуль. Изучение возможностей таких обобщений, которые справедливы и для модулей, привело к возникновению алгебраической К-теории.
Заключение.
На основе выше изложенного можно отметить,что линейная алгебра — это наука о линейном множестве уравнений и их трансформационных свойствах. Линейная алгебра позволяет проводить анализ вращения в пространстве, выравнивание методом наименьших квадратов, решение двойных дифференциальных уравнений, определение окружности с помощью трех известных точек, точно также как и решение других задач в области математики, физики и инженерии. Линейная алгебра не является алгеброй в технологическом смысле этого слова. Матрица и определитель являются необходимыми составляющими в области линейной алгебры. Одной из центральных проблем линейной алгебры является решение уравнения матрицы.
Направление линейной алгебры используется также для того, чтобы описать специфическую часть алгебры. В частности, линейная алгебра имеет свою структуру с наличием определенных аксиом квадратного суммирования и умножения, которые рассматриваются согласно, так называемому, распределительному закону. В рамках линейной алгебры происходит более детальное исследование структуры.
Линейная алгебра также допускает осуществление внешних операций функции умножения с помощью скалярных значений. Примером может быть система всех линейных преобразований, начиная с векторного пространства и заканчивая самим широким понятием линейной алгебры.
На
сегодняшний день очевидным представляется
тот факт, что теория линейной алгебры
получила успешное свое развитие, а
ее методы имеют место и в других
специфических областях математики.
В модульной теории рассматривается
феномен скалярных величин. В
полилинейной алгебре особое место
уделяется для исследования переменных
линейных преобразований. К тому же
широкое распространение в
Список литературы.
Лит.:[1] Кострикин А. И., Введение в алгебру, М., 1977;
[2] К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975;
[3] Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, 4 изд., М., 1971;
[4] М а л ь ц е в А. И., Основы линейной алгебры, 4 изд., М., 1975;
[5] Ефимов Н. В., Розендорн
9. Р.,. Линейная алгебра и
[6] Шилов Г. Е., Введение в теорию линейных пространств, 2 изд., М., 1956;
[7] Г а н т м а х е р Ф. Р., Теория матриц, 2 изд., М., 1966;
[8] А р т и н Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969;
[9] Б у р б а к
и Н., Алгебра. Алгебраические
структуры. Линейная и
[10] Бэр Р., Линейная алгебра и проективная геометрия, пер. с англ., М., 1955.
И. В. Проскуряков.