Квадратурна формула

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ  УКРАЇНИ

ЧЕНІВЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ  ім.Ю.Федьковича 

Реферат

З курсу вищої  математики на тему: 

«Квадратурна формула трапецій наближеного обчислення визначеного інтеграла.Приклади.»

Виконав:

Студент 102 групи ІТФ

Урбанський  В.Л

Викладач:

Літовченко  В.А 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Чернівці

2010р.              

План:

1. Загальний вигляд квадратурної формули.
2. Ввід формул численного интегрирувания з використанням интерполяційного полінома Лагранжа
3. Формула трапецій і средніх прямокутників.
4. Квадратурна формула Чебишева.

 

1.Загальний вигляд квадратурної формули. 

Треба найти опреділений интеграл

I =

по квадратурній формулі Чебишева.

Розглянемо, що представляє з себе взагалі квадратурна формула, і як можно с  помощью визначити приближенно интеграл.

Відомо, что определенный интеграл функції типу численно представляє собою площу криволинейної трапециї ограниченної кривими x=0, y=a, y=b и y= (Рис.1).

Рис. 1. Криволініна трапеція.

Якщо f(x) непрервна на відрізку [a, b], и известна ее первообразна F(x), то опреділений интеграл від цеї функции в межах від а до b може бути вычисленим по, відомій всім, формулі Ньютона - Лейбніца

= F(b) - F(a)

 де

F’(x) = f(x)

 Однако во багатьох випадках F(x) не може бути найдена, чи першообразна получаеться дуже складної для обчислення.

Окрім того, функция часто задаеться таблично. тому більше значення приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование.

 Задача численного інтегрування складається із знаходження приближенного значення интеграла по заданим чи вычисленним значениям подинтегральной функции f(x) в деяких точках (вузлах ) відрізка [ a, b].

 Численне опреділенння однократного интеграла називаєтся механичною квадратурою, а відповідні формули численного интегрирувания - квадратурними .

 Змінна підинтегральну функцию яким небудь интерполціонним многочленом, ми получимо квадратурні формули виду

 

   

 де

xk – выбрані вузли интерполяции;

Ak - коэффіціенты, зависящие тільки від вибора вузлів, но

 не від виду функции (k=0,1,2,........, n).

R - остаточный  член, или погрешность квадратурной  формулы.

 Отбрасывая  остаточный член R, мы совершаем  погрешность усечения.

При расчете  к ней добавляются еще различные  погрешности округления.

Разобьем  отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей системой точек 

 xi= xo+ i..h; ( i = 0,1,2,......,n)

xo= a; xn= b;

h= (b-a)/n ;

 и вычислим подинтегральную функцию в полученных узлах

 yi= f(xi) ; ( i = 0,1,2,......,n) 

2. Ввід формул численного интегрирування з використанням интерполяційного полінома Лагранжа 

Нехай для y=f(x) відомі в n+1 точках X0,X1,X2..Xn відрізка [a,b] соответствующие значення f(xi)=yi (i=0,1,2..n). Треба приближенно найти

 

По заданим значенням Yi построємо полином Лагранжа. Змінимо f(x) полиномом Ln(x). Тоді

   

де Rn(f) –  ошибка квадратурної формули. Звідси, воспользовавшись выраженням для Ln(x), получаемо приближену квадратурну формулу:

 Для вичислення коэфіциентів Аi заметимо що:

1.коэффициенти Ai при данному расположенни вузлів не зависит від вибора функції f(x);

2.для полинома  степеня n последня формула точная. 
 

Звідси y=xK (k=0,1,2..,n), получимо линійну систему из n+1 Рівнянь:

   

де 

 

(k=0,1,..,n), из  яких можно определити коэфіцієнти А0,А1,..,АN. 

Определитель  системи є определителем Вандермонда 

 

Замітимо, що при применении этого метода фактическое пострєння полінома Лагранжа Ln(x) являеться лишнім. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разроблений С.М. Никольским.

Тепер рассмотрим декілька простііших квадратурних формул :

3. Формула трапецій і средніх прямокутників.

Замінимо дугу АВ, получимо прямолинейну трапецию аАВb, площ я кої прямим за приближене значене интеграла 
 
 

y 
 

 

 
 
 
 
 

0 a b x

 рис 1.3.1 Криволинейная трапеция

Рис. 1.3.2. Метод  трапецій. 

Рис. 1.3.3. Метод  средних прямкутників.

По методам трапецій и средніх прямокутників відповідно интеграл рівний сумі площ прямокутних трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точці перетину верхнього основания прямоугольника, які графік функції повинен перетинати в середині. Відповідно получаем формули площ —

для методу трапецій:

,

для методу средніх прямокутників:

.

1.4. Загальна формула Сімпсона (параболічна формула)

Нехай n=2m це чітке число и yi=f(xi) (i=0,1,2...n) - значення функції y=f(x) для рівностоячих точок а=x0,x1, ... ,xn=b с шагом

 

Примінивши формулу Симпсона для кожного  промежутка [x0,x2], [x2,x4] ... [x2m-2,x2m] довж. 2h и ввівши позначення

s1=y1+y2+ ... +y2m-1

s2=y2+y4+ ... +y2m

получимо загальну формулу Сімпсона:

 

Остаточний член формули Сімпсона в загальному виді:

 

де xk I (x2к-2,x2к) 
 

4. Квадратурна формула Чебишева. 

Розглянемо квадратурную формулу вида: 

   

функцию f(x) будем писати в вигляді тоді f(x) многочлен виду f(x)=ao+a1x+...+anxn . Проинтегрирував, преобразував и підставив значення многочлена в вузлах 

f(x1)=a0+a1x1+a2x12+a3x13+...+anx1n 

f(x2)=a0+a1x2+a2x22+a3x23+...+anx2n 

f(x3)=a0+a1x3+a2x32+a3x33+...+anx3n 

. . . . . . . . . . . . . . . . 

f(xn)=a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+...+anxnn 

получим формулу  Чебишева.

 

 

Значення х1,х2,..,хn для різнихх n приведених в таблиці 3. 

Таблиця 3 – Значення х1,х2,..,хn для різних n.

2. визначення контрольного зразка 

 

де a=0 ; b= ; при n=5; 

f(x) = sin(x); 

 

 

x1= p/4+p/4*t1=p/4+p/4(-0,832498)=0,131489 

x2= p/4+p/4*t2=p/4+p/4(-0,374341)=0,490985 

x3= p/4+p/4*t3=p/4+p/4*0=0,785 

x4=1- x2=1-0,490985 = 0,509015 

x5=1- x1=1-0,131489=0,868511

y1=sin(x1) = sin(0,131489)=0,131118

y2=sin(x2) = sin(0,490985)=0,471494 

y3=sin(x3) = sin(0,785)=0,706825 

y4=sin(x4) = sin(0,509015)=0,487317 

y5=sin(x5) = sin(0,868511)=0,763367 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список літератури:

1. Дубовик В. П., Юрик І.І. Вища математика : Навч. посібн. –К .:А. С. К   2006.  648 с.
2. Веренич І.І., Лавренчук В.П., Пасічник Г.С., Черевко І.М. Вища математика : лінійна алгебра , аналітична геометрія , математичний аналіз:  Підручник  .-  Чернвці  :Рута. 2007.  - 255с.