Курсовая работа по "Математике"

.     

. .

,     .

Подставляем полученные значения и находим уравнение  линейной регрессии

    .

Сравним условные средние, вычисленные по этому уравнению, с условными средними по корреляционной таблице. Примем , тогда . Значение по корреляционной таблице равно 70. Таким образом, найденное уравнение хорошо согласуется с данными таблицы (выборки).

Находим коэффициент  корреляции по формуле (2). Радикал в  формуле берем со знаком  +, т.к коэффициенты и положительны.

.

Оценим значимость коэффициента корреляции с помощью  критерия Стьюдента [1-3]. Найдем параметр t, исходя из известных значений и .

.

Выберем уровень значимости равный 0.05. По таблице критерия Стьюдента для этого уровня значимости находим . Т.к. , то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, что свидетельствует о тесной и прямой связи переменных X и Y.

 

Задача 6.

Условие задачи: найти выборочное уравнение регрессии и выборочное корреляционное отношение.

X Y	5	6	7	8	9	ny
2	18	1	1	–	–	20
5	1	20	3	–	–	21
7	3	5	10	2	–	20
12	–	–	7	12	–	19
19	–	–	–	–	20	20
nx	22	26	18	14	20	N = 100

Решение:

1) Выборочным корреляционным отношением Y к X называют отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению признака Y [1]

,	(1)
.	(2)
.	(3)

где - объем выборки (сумма всех частот); - частота значения признака ;

      - частота значения признака ; - общая средняя признака ;

      - условная средняя признака .

Найдем общую  среднюю 

.

Зная общее среднее, найдем общее среднее квадратическое отклонение

Для нахождения межгруппового среднего квадратического  отклонения определим условные средние  каждой группы.

,  ,

, , .

По этим данным рассчитываем межгрупповое среднее  квадратическое отклонение

В результате выборочное корреляционное отношение, рассчитываемое по формуле (1), равно  .

Так как величина достаточно близка к 1, то признак Y тесно связан с признаком X функциональной зависимостью.

 

2) Для нахождения  выборочного уравнения регрессии (параболической корреляции второго порядка) решают систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров, пользуясь методом наименьших квадратов [1].

.

(4)

 

Составим расчетную  таблицу и заполним ее:

5	22	2.818	110	550	2750	13750	62	310	1550
6	16	5.269	156	936	5616	33696	137	822	4932
7	18	9.5	126	882	6174	43218	171	1197	8379
8	14	11.286	112	896	7168	57334	158	1264	10110
9	20	19	180	1620	14580	131220	380	3420	30780
	100	47.873	684	4884	36290	279200	908	7013	55750

 

 

 

 

Подставляя  полученные суммы, задаем систему уравнений

Для решения  данной системы воспользуемся методом  Крамера [4]. Он состоит в нахождении соответствующих определителей матрицы, в нашем случае определители будут иметь третий порядок. В нашем случае это

, ,

,

Нахождение  определителей полученных матриц достаточно трудоемкая задача, поэтому для ее решения воспользуемся пакетом Mathcad 14, с помощью которой получим

, , , .

В результате определяем коэффициенты

, , .

В итоге выборочное уравнение регрессии примет вид  .

Сравним условные средние, вычисленные по этому уравнению, с условными средними по корреляционной таблице. Примем  , тогда . Значение по корреляционной таблице равно 19. Таким образом, найденное уравнение хорошо согласуется с данными таблицы (выборки).

 

Заключение

В данной работе были решены задачи по теории вероятностей и прикладной математической статистике.

Часть из задач  решалась с использованием математического  пакета Mathcad 14, позволяющего выполнять операции с векторами и матрицами, проводить статистические расчеты и работать с распределением вероятностей.

При нахождении функциональных зависимостей величин  по опытным данным получаемые уравнения  достаточно точно совпадали с  исходными данными выборки, что  свидетельствует о правильности найденных решений.

 

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. 4-е, доп. Учеб. пособие для вузов. М. «Высш. школа», ,1972, 368 с., илл.

2. Козлов М.В., Прохоров А.В. Введение в математическую статистику. –М.:Изд-во МГУ, 1987. – 264 с.

3. Вентцель Е.С.  Теория вероятностей. –М.:Изд-во  МГУ, 1969. – 569 с.

4. Прикладная  статистика. Основы эконометрики: Учебник  для вузов: В 2 т.  2-е изд., испр. – Т.1: Айвазян С.А., Мхитарян  В.С. Теория вероятностей и  прикладная статистика. –М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 656 с.