Контрольная работа по "Высшая математика"

Контрольная работа

Вариант 10

1. Ребенок играет с 7 буквами разрезной азбуки: Б, А, Р, А, Б, А, Н. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «БАРАБАН»?

РЕШЕНИЕ.

Вероятность любого события А по формуле «классического определения вероятности» равна: Р(А)=k/n, где k – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; n – общее число исходов.

Семь букв разрезной азбуки можно расположить в ряд числом способов, равным 7!. Чтобы получить число благоприятных исходов, нужно взять слово «БАРАБАН» и убедиться в том, что его можно получить, переставляя местами две буквы Б и три буквы А, что можно сделать 2!3! способами. Ответ: 2!3! / 7!

2. Гардеробщица выдала одновременно номерки четырем лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого перепутав все шляпы, она повесила их наугад. Найти вероятность того, что ровно два лица получат свои шляпы.

РЕШЕНИЕ

Вероятность события А равна отношению числа m благоприятных исходов (случаев) к общему числу n возможных исходов (случаев):

P(A)=m/n.

Вероятность того, что ровно два лица получат свои шляпы равна ¼=0,25.

3. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,5, 0,74 и 0,83.

РЕШЕНИЕ

Обозначим через А событие – два стрелка поразили мишень. Сделаем два предположения (гипотезы): B1 – третий стрелок поразил мишень; B2 – третий стрелок не поразил мишень. По условию, Р(В1)=0,83; следовательно (событие B2 противоположно событию В1),

Р(В2)=1-0,83=0,17

Найдем условную вероятность РВ1(С), т.е. вероятность того, что мишень была поражена двумя пулями, причем одна из них была послана третьим стрелком и, следовательно, вторая – либо первым стрелком (при этом второй стрелок промахнулся), либо вторым стрелком (при этом первый стрелок промахнулся). Эти два события несовместны, поэтому применима теорема сложения:

РВ1(С)=p2*q1+p1*q2=0,74*0,5+0,5*0,26=0,5.

Найдем условную вероятность РВ2(С), т.е. вероятность того, что в мишень попало две пули, причем третий стрелок не попал. Другими словами, найдем вероятность того, что первый и второй стрелки поразили мишень. Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения:

РВ2(С)= p1*p2=0,5*0,74=0,37.

Искомая вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, по формуле Бейеса равна:

.

4. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. телефонная станция обслуживает 780 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят не менее 4 абонентов?

РЕШЕНИЕ

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна, близка к нулю, а число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность Pn(k) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит k раз, приближенно равна:

,

где               λ=np

Приближенную формулу Пуассона применяют, когда p<0,1, а npq<10.

Так как p=0,01 мало и n=780 велико, то будем пользоваться приближенной формулой Пуассона при λ=780*0,01=7,8. Согласно таблице распределения Пуассона:

Р780(4k780)=1–Р780(0k4)=1–0,018316–0,073263–0,146525–0,195367=0,566529.

5. Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно N раз.

РЕШЕНИЕ

1) Если события равновозможны (монета имеет равные шансы выпасть «орлом» или «решкой», т.е. симметричная монета), то используя формулу вычисления вероятности с равновозможными элементарными событиями получаем: P(A)=N(A)/N (где N(A) - это число благоприятстующих событий, а N - общее число равновозможных событий). В данном случае N(A)=1 (при броске монета выдаст только одну сторону, т.е. одно событие), а N=2 (монету бросаем 2 раза, значит событий произошло 2) => P(A)=1/2=0,5.

2) По условию, n=2N; k=N; p=0,5; q=0,5. Условия применения локальной теоремы Муавра-Лапласа выполняются, поэтому воспользуемся ею:

Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

.

Вычислим х:

Функция (x) по таблице приложения (0)=0,3989.

Искомая вероятность:

.

6. Вероятность того, что телефонный автомат при опускании жетона сработает, равна 0,97. Сколько нужно опустить жетонов, чтобы наиболее вероятное число случаев срабатывания телефонного автомата было равно 100?

РЕШЕНИЕ

Наивероятнейшим числом называют число k0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p), если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее число k0=100; p=0,97; q=0,03. Найдем количество жетонов, при котором наиболее вероятное число случаев срабатывания телефонного автомата будет равно 100.

Воспользуемся двойным неравенством:

np–q  k0 < np+p.

Подставляя данные задачи, получим систему неравенств для определения неизвестного числа:

0,97n–0,03  100;              0,97n+0,97>100.

Из первого неравенства системы найдем:              n  100,03/0,97=103,12

Из второго неравенства системы имеем:              n > 99,03/0,97=102,09

Итак, искомое число испытаний должно удовлетворять двойному неравенству:

102  n  103

Таким образом, чтобы наиболее вероятное число случаев срабатывания телефонного автомата было равно 100, нужно опустить 102 или 103 жетона.

7. Имеется 6 ключей, из которых только два подходят к замку. Найдите закон распределения случайной величины Х, равной числу проб при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует. Построить многоугольник распределения. Построить функцию распределения и начертить ее график.

РЕШЕНИЕ

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины X может быть, задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения хi, а вторая – вероятности рi.

Величина X примет возможное значение x1=1 (только один испробованный ключ подойдет к замку). Вероятность этого возможного значения равна 2/6=1/3/. Таким образом, Р(X=1)=1/3. Вероятность того, что со второй попытки, равна 2/3*1/2=1/3 и так далее, т.е. это равномерное дискретное распределение. Запишем закон распределения случайной величины X – числа проб при открывании замка:

Построим многоугольник распределения (полигон) случайной величины X «число проб при открывании замка».

Функция распределения имеет вид:

8. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Используя неравенство Чебушева, оценить вероятность того, что Х-М(Х) < 0,125.

РЕШЕНИЕ

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины Х:

М(Х)=0,5*0,12+0,7*0,43+0,8*0,45=0,721;

D(Х)= М(Х2)–[М(Х)]2=(0,52*0,12+0,72*0,43+0,82*0,45)–0,7212=0,089.

Воспользуемся неравенством Чебушева в форме:

Р(Х–М(Х)<ε)1–D(X)/ε2.

Подставляя М(Х)=0,721, D(Х)=0,089, ε=0,125, окончательно получим:

Р(Х–0,721<0,125)1–0,089/0,1252=0,433.

7