Контрольная работа по "Теории вероятности"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6

 

1. За час по дороге, на которой стоит АЗС, проехало 150 машин, из которых 50 машин были грузовыми, а остальные – легковые. Вероятность того, что проезжающая легковая машина подъедет к АЗС для заправки, равна 0,1; для грузовой машины эта вероятность составляет 0,2. Найти вероятность того, что из двух проехавших по дороге машин на заправку подъедет только одна машина.

 Решение. Рассматриваются события:

А₁={проехала грузовая машина}

А₂={проехала легковая машина}

По условию вероятности  этих событий таковы: ,  

А₃ ={проезжающая машина оказалась грузовой и подъехала к заправке} 

А₄ ={проезжающая машина оказалась легковой и подъехала к заправке}  Вероятности этих событий:

В={из двух машин на заправку подъедет только одна}

Так как события А₃ и А₄ независимы, то независимыми будут и события А₃ и Ā₄, а также Ā₃ и А₄. Поэтому

Ответ. 0,19

2. Две независимые случайные дискретные величины X и Y заданы своими законами распределения. Построить ряд распределения для случайной величины Z. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z и проверить вычисления по свойствам математического ожидания и дисперсии.

Х	1	2	5	7		Y	1	4
Р	0,2	0,2	0,3	0,3		P	0,2	0,8		Z=3X+Y

Решение. Вначале составим ряд распределения случайной величины y=3x.

Найдем возможные  значения случайной величины z₁:    с теми же вероятностями 0,2; 0,2; 0,3; 0,3, т.е.

z1=3х	3	6	15	21
P	0,2	0,2	0,3	0,3

Для удобства нахождения всех значений функции Z=3X+Y и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом углу значения функции Z, а в правом углу – вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин 3х и y.

	3хi	3	6	15	21
yi	pi	0,2	0,2	0,3	0,3
1	0,2	4 0,04	7 0,04	16 0,06	22 0,06
4	0,8	7 0,16	10 0,16	19 0,24	25 0,24

Так как среди  значений Z имеются повторяющиеся, то соответствующие им вероятности складываем по теореме сложения вероятностей.

P(z=7)=0,04+0,16=0,2

В результате получим  распределение

z=3х+y	4	7	10	16	19	22	25
P	0,04	0,2	0,16	0,06	0,24	0,06	0,24

Убеждаемся  в том, что  выполнено.

Составим теперь функцию распределения случайной величины Z=3X+Y:

Математическое  ожидание дискретной случайной величины Z определяется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

Дисперсию вычислим по формуле  , где

 

Таким образом, дисперсия равна 

Проверим вычисления по свойствам математического ожидания и дисперсии.

По свойствам математического ожидания М(СХ)=СМ(Х) и М(Х+Y)=M(X)+M(Y) получим:

M(Z)=M(3x+y)=3М(Х)+М(Y)=3^.4,2+3,4=16 – правильно.

Согласно свойств дисперсии D(СХ)=С²D(Х) и D(Х+Y)=D(X)+D(Y) получим:

D(Z)=D(3x+y)=9D(X)+D(Y)=9^.5,56+1,44=51,48 – правильно.

Проверка подтвердила правильность наших вычислений.

3. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины f(x). Построить кривую распределения, найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность попадания случайной величины на заданный интервал [α,β].

            α=0; β=3

Решение. Построим функцию распределения F(x), для чего найдем выражение F(x) на интервале [-2,4]:

При x<-2 функция F(x)=0 и F(x)=1 при x>4, таким образом

Графики функций f(x) и F(x) имеют вид:

Найдем числовые характеристики.

Используя формулу  для вычисления математического  ожидания НСВ, имеем:

Найдем дисперсию случайной  величины:

откуда сразу  же следует, что среднее квадратическое отклонение:

Найдем теперь вероятность попадания значения случайной величины на интервал (a,b), где α=0; β=3, принадлежащий целиком отрезку [-2,4]:

 

4. Дано, что детали, выпускаемые цехом, распределены по размеру диаметра по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение -σ мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше α мм и меньше β мм;   2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартного размера не более чем δ мм. Значения а, σ, α, β, δ даны а=40, σ=4, α=35, β=44, δ=2.

 Решение. Случайная величина X называется распределённой по нормальному (гауссовскому) закону, если плотность распределения вероятностей имеет вид

где а = М(X) – математическое ожидание,

- среднее квадратичное отклонение.

В этом случае вероятность  того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше α мм и меньше β мм находится по формуле:

где  - нормированная функция Лапласа.

Найдем вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 35 мм и меньше 55 мм, используя нормированную функцию Лапласа:

 

Поскольку функция нечётная, и

Найдем вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартного размера не более чем  δ=2 мм. Известно, что , тогда

1. Исследовать систему на совместимость и решить ее, если она совместна

Решение. Проверим систему  на совместность, для этого найдем ее определитель:

D= =8+20-9-12-15+8=0 – значит, система или несовместна, или имеет бесконечно много решений.

Ответ. Система несовместна.