Контрольная работа по "Теории вероятностей"

Контрольная работа №2

При измерении веса 25 упаковок сильнодействующего лекарственного препарата  были обнаружены следующие отклонения (в гр.) от указанного на обертке^*):

-26,5306; -15,9031; -19,9143; -9,7446; -16,4481; -11,9246; 4,8723; 3,3245; -9,0797; -25,0482; 1,9075; -34,9563; -8,0987; -20, 3067; -14,1373; -12,0772; -8,1096; -1,853; 6,9106; -12,0772; -1,2208; -17,331; -11,1834; -8,7963; -7,0632

Задание 1

1. Определить исследуемый  признак и его тип (дискретный  или непрерывный).

2. В зависимости от  типа признака построить полигон  или гистограмму относительных  частот.

3. На основе визуального  анализа полигона (гистограммы) сформулировать  гипотезу о законе распределения  исследуемого признака.

Решение:

1. Исследуемым признаком  Х является отклонение лекарственного препарата от указанного на обёртке. Значения исследуемого признака могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину, следовательно, исследуемый признак непрерывный.

2. Размах выборки: R=-11,1834-(-20,3067)=9,1233

Количество интервалов разбиения: , длина интервала h=9,1233/5=1,824

Граница интервала		Частота,	Относительная частота,
левая	правая
-20,3067	-18,4821	1	0,04	0,0220
-18,4821	-16,6575	3	0,12	0,0658
-16,6575	-14,8329	10	0,4	1,2193
-14,8329	-13,0083	7	0,28	0,1535
-13,0083	-11,1837	4	0,16	0,0877

 

Строим гистограмму относительных  частот

 

3. Сравнивая гистограмму  относительных частот с графиком  плотности нормального распределения,  можно выдвинуть гипотезу о  близости распределения исследуемого  признака Х к нормальному.

Задание 2

1. Вычислить выборочные  характеристики признака: среднее,  дисперсию и 

     среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

2. Для генеральной (теоретической)  средней и дисперсии построить  доверительные интервалы, соответствующие  доверительной вероятности  0,95.

Решение:

 

1. Выборочное среднее:

Выборочная дисперсия: .

Выборочное среднее квадратическое (стандартное) отклонение:

2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью находим по формуле

.

, n-1=24, по таблице найдем , тогда

Доверительный интервал для  дисперсии 

Задание 3

1. С надежностью  0,95  проверить гипотезу о равенстве:

     а) генеральной  средней значению  –10×С;

б) генеральной дисперсии  значению  100×С ²,  где C = 1 + (K + M)/100.

2. Используя критерий  согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3 задания 1 закону распределения при уровне значимости  0,05.

Решение:

 

 

1.

а) Нулевая гипотеза  : =-10,9 против альтернативной гипотезы : а≠ -10,9 при уровне значимости .

Область принятия гипотезы при двусторонней альтернативе определяется неравенством , где статистика критерия

Так как  , нулевая гипотеза не противоречит имеющимся данным, и ее следует принять.

b) Нулевая гипотеза  : против альтернативной гипотезы : при уровне значимости .

Так как распределение  исследуемого признака можно считать  нормальным с неизвестным средним  значением, область принятия нулевой  гипотезы определяется неравенством , где статистика критерия

.

Так как  , то нулевая гипотеза согласуется с опытными данным и может быть принята.

2. Нулевая гипотеза  состоит в том, что исследуемый признак Х имеет нормальное распределение, то есть функция распределения имеет вид

В качестве оценок неизвестных  параметров а и σ будут фигурировать соответствующие выборочные характеристики . Исследуемый признак принимает значения на всей действительной оси (в принципе), поэтому интервалы разбиения таковы, что левый конец и правый конец . Два первых интервала объединим ввиду их малочисленности.

№	Интервал группировки	Частота,		Функция	Вероятность,
1	(-∞; -16,6575)	4	-∞	-0.5	0,1977	4,9425	0,180
2	[-16,6575; -14,8329)	10	-0,85	-0,3023	0,3183	7,9575	0,524
3	[-14,8329; -13,0083)	7	0,04	0,0160	0,3078	7,695	0,063
4	[-13,0083; +∞)	4	0,93	0,3238	0,1762	4,405	0,037
5			+∞	0,5
∑

 

Вычисленная статистика критерия , количество интервалов группировки k=4, число неизвестных параметров распределения, оцениваемых по выборке, m=2. Для заданного уровня значимости α=0,05 по таблице находим

Так как  , то нулевая гипотеза о нормальном распределении величины отклонения сильнодействующего лекарственного препарата от указанного на обёртке согласуется с имеющимися данными.